金沢大学 2022年数学第2問解答・解説

1問題

金沢大学2022年度第2問

k

を正の実数とし、

x>0

で定義された関数

y=k(\log x)^{2}

のグラフを

C

とする。

y

軸上に点

\mathrm{A}\left(0,\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}e\right)

をとる。ただし、

e

は自然対数の底である。次の問いに答えよ。

(1)

C

上の点

(p,\,k(\log p)^{2})

における接線の方程式を求めよ。

(2) 点

\mathrm{A}

を通って、

C

にちょうど2本の接線が引けることを示せ。

(3) 点

\mathrm{A}

を通る

C

の2本の接線が垂直に交わるような

k

の値を求めよ。さらに、それぞれの接点の

x

座標

p

、

q

を求めよ。ただし、

p<q

とする。

(4) (3)で求めた

k

、

p

、

q

に対し、定積分

\displaystyle\int_{p}^{q}k(\log x)^{2}\,dx

を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$y=\frac{2k\log p}{p}(x-p)+k(\log p)^2$
(2)
$t=\log p=1\pm\sqrt{1+\frac{\sqrt3e}{2k}}$
(3) k
$\frac{e}{2\sqrt3}$
(3) p
$e^{-1}$
(3) q
$e^3$
(4)
$\frac{5(e^4-1)}{2\sqrt3}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

t=\log p

とすると

y'(p)=2kt/p

。接線は

y=\frac{2k\log p}{p}(x-p)+k(\log p)^2 =\frac{2kt}{p}x+k(t^2-2t).

(2) 点Aを通る条件は

k(t^2-2t)=\frac{\sqrt3}{2}e.

k>0

なので、両辺を

k

で割って平方完成すると、これは

(t-1)^2=1+\frac{\sqrt3 e}{2k}

と同値である。
右辺は1より大きいので、

t=1\pm d

、

d=\sqrt{1+\frac{\sqrt3e}{2k}}>1

の2解を得る。一方は負、他方は正で、それぞれの接線の傾き

2kte^{-t}

の符号が異なるので、異なるちょうど2本の接線である。
(3) 接点の対数を

t=1-d,\ u=1+d

とすると、傾きの積は

(2kte^{-t})(2kue^{-u}) =4k^2(1-d^2)e^{-2} =-\frac{2k\sqrt3}{e}.

垂直条件は積が

-1

であることだから

k=e/(2\sqrt3)

。このとき

d=2

なので

p=e^{1-d}=e^{-1},\qquad q=e^{1+d}=e^3.

(4)

\int(\log x)^2dx=x\{(\log x)^2-2\log x+2\}

より

\int_{e^{-1}}^{e^3} k(\log x)^2dx =k\left(5e^3-\frac5e\right) =\frac{5}{2\sqrt3}(e^4-1).

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

接線の方程式
対数置換
傾きの積
原始関数

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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解答

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