1金沢大学 2022年 数学 第1問解答・解説

方程式$z^{4}+4=0$について、次の問いに答えよ。ただし、$i$は虚数単位とする。

(1) 複素数$-4$を極形式で表し、$z^{4}+4=0$を満たす複素数をすべて求めよ。

(2) $|w|^{2}=3$を満たす複素数$w$と、$z^{4}+4=0$を満たす複素数$\alpha$について、$|\alpha+iw|^{2}+|\alpha-iw|^{2}$を求めよ。

(3) $t$を実数とする。複素数平面における円$|z-t-5i|=5$の内部（ただし、境界線を含まない）に、$z^{4}+4=0$を満たす複素数がちょうど1つ含まれるように、$t$の範囲を定めよ。