4徳島大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)　 3で割り切れない数字は $1,2,4,5,7,8$ の6個であり、そのうち3個ずつが3で割って1余り、2余る。したがって、$U_n$ の要素を選ぶとき、許された数字列の各々は同様に確からしい。また $10\equiv1\pmod3$ より $a\equiv b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}\pmod3$ である。
$n=2$ のとき全体は $6^2=36$ 個で、和が3の倍数となるのは二つの数字の余りが $(1,2)$ または $(2,1)$ の場合である。各場合は $3^2=9$ 個だから、$P_2=18/36=1/2$。
$n=3$ のとき全体は $6^3=216$ 個である。各数字の余りを $1$ または $2$ とし、余り1の数字が $x$ 個あるとすると、余りの和は $x+2(3-x)=6-x$ である。これが3の倍数となるのは $x=0$ または $x=3$ の場合に限る。それぞれ実際の数字列は $3^3=27$ 個なので、$P_3=54/216=1/4$。
(2)　 許された各数字について、余り1の数字と余り2の数字を一対一に対応させて入れ替える。この操作を各桁に行うと、許された数字列どうしの一対一の対応となる。元の数字列の各桁の余りの和を $s$ とすると、入れ替え後の余りの和は $3n-s$ と合同であるから、元の余りが1なら入れ替え後は2、元の余りが2なら入れ替え後は1となる。よって両者の個数は等しく、$Q_n=R_n$。
(3)　 $U_{n+1}$ の数字列は、上位 $n$ 桁が表す $U_n$ の要素と、下一桁の許された数字との組に一対一に対応する。下一桁の余り1、2はそれぞれ同数の3個ずつある。したがって、余りの組合せから
$$P_{n+1}=\frac12(Q_n+R_n),\qquad Q_{n+1}=\frac12(P_n+R_n),\qquad R_{n+1}=\frac12(P_n+Q_n).$$
(2) の $Q_n=R_n$ を用いれば、$P_{n+1}=Q_n$ および $Q_{n+1}=\frac12(P_n+Q_n)$ を得る。
(4)　 (3) より $Q_n=P_{n+1}$ なので、
$$P_{n+2}=Q_{n+1}=\frac12(P_n+Q_n)=\frac12(P_n+P_{n+1})\qquad(n\geqq2).$$
$S_n=P_n-\frac13$ とおくと、$S_{n+2}=\frac12(S_n+S_{n+1})$ であり、$S_2=\frac16$, $S_3=-\frac1{12}$ である。そこで $S_n=\frac16(-\frac12)^{n-2}$ とする。この式は $n=2,3$ で成り立ち、これが $n,n+1$ で成り立つとき、
$$\frac12(S_n+S_{n+1})=\frac1{12}\left(-\frac12\right)^{n-2}\left(1-\frac12\right)=\frac1{24}\left(-\frac12\right)^{n-2}=\frac16\left(-\frac12\right)^n=S_{n+2}.$$
したがって漸化式によりすべての $n\geqq2$ で成り立つ。ゆえに
$$P_n=\frac13+\frac16\left(-\frac12\right)^{n-2}=\frac13+\frac23\left(-\frac12\right)^n.$$
さらに $Q_n=P_{n+1}$ から
$$Q_n=\frac13+\frac16\left(-\frac12\right)^{n-1}=\frac13-\frac13\left(-\frac12\right)^n.$$