3聖マリアンナ医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1) $y=-x^2+1\ (x\geqq0)$ を $x$ について解くと $x=\sqrt{1-y}$ であり、もとの定義域より平方根の正の枝をとる。値域は $y\leqq1$ だから
$$f^{-1}(x)=\sqrt{1-x}\qquad(x\leqq1).$$

(2) 2つのグラフの共有点の $x$ 座標は共通定義域 $0\leqq x\leqq1$ で
$$1-x^2=\sqrt{1-x}$$
を満たす。両辺はこの範囲で非負なので両辺を平方することは同値変形であり、
$$(1-x^2)^2=1-x \quad\text{すなわち}\quad x^4-2x^2+x=0 \quad\text{すなわち}\quad x(x-1)(x^2+x-1)=0.$$
共通定義域にある解は $0,1,\frac{-1+\sqrt5}{2}$ である。従って $\boxed{\text{ス}}=\frac{-1+\sqrt5}{2}$ に対応する選択肢は (c)。

(3) $r=\frac{\sqrt5-1}{2}$ とおくと $r^2=1-r$ である。$f(x)$ と $f^{-1}(x)$ は $0\leqq x\leqq1$ でともに非負であり、
$$f(x)^2-f^{-1}(x)^2=(1-x^2)^2-(1-x) =x(x-1)(x^2+x-1).$$
よって $0<x<r$ では $f(x)>f^{-1}(x)$、$r<x<1$ では $f(x)<f^{-1}(x)$。2つの曲線は直線 $y=x$ に関して対称で、囲まれた2領域の面積は等しいから
$$\begin{aligned} S&=2\int_0^r\bigl(1-x^2-\sqrt{1-x}\bigr)\,dx\\ &=2\left[r-\frac{r^3}{3}+\frac23(1-r)^{3/2}-\frac23\right] =2r+\frac23r^3-\frac43. \end{aligned}$$$$S=2{\int }_0^r(1-x^2-\sqrt{1-x})dx$$$$=2\left[r-\frac{r^3}{3}+\frac{2}{3}(1-r{)}^{3/2}-\frac{2}{3}\right]=2r+\frac{2}{3}{r}^3-\frac{4}{3}.$$
ここで $r^3=2r-1=\sqrt5-2$ より
$$S=\frac{-11+5\sqrt5}{3}.$$
従って $\text{セ}=11,\ \text{ソ}=5$。

(4) $h(x)=f(x)^2-f^{-1}(x)^2=x^4-2x^2+x$ とおく。(3)の符号判定より、回転断面の外半径・内半径の二乗差は $0\leqq x\leqq r$ で $h(x)$、$r\leqq x\leqq1$ で $-h(x)$ である。従って
$$\frac V\pi=\int_0^r h(x)\,dx-\int_r^1 h(x)\,dx=2H(r)-H(1), \quad H(x)=\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}.$$
$r^2=1-r,\ r^3=2r-1,\ r^5=5r-3$ を用いると
$$H(r)=\frac{17}{30}-\frac{5r}{6}=\frac{59-25\sqrt5}{60}, \qquad H(1)=\frac1{30}.$$
よって
$$V=\frac{58-25\sqrt5}{30}\pi.$$
従って $\text{タ}=58,\ \text{チ}=25$。