2鹿児島大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(1) 三角関数の合成により
$$x=\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right).$$
ここで $0\leqq\theta<2\pi$ なので、$\theta-\frac{\pi}{4}$ は $-\frac{\pi}{4}\leqq\theta-\frac{\pi}{4}<\frac{7\pi}{4}$ を動く。この範囲で正弦の値は $-1$ から $1$ までをとり、両端の値も実現する。したがって $-\sqrt{2}\leqq x\leqq\sqrt{2}$。

(2) $s=\sin\theta,\ c=\cos\theta$ とおくと、$s-c=x$ であり、
$$x^2=(s-c)^2=s^2+c^2-2sc=1-2sc$$
より $sc=\frac{1-x^2}{2}$。また、
$$s^3-c^3=(s-c)(s^2+sc+c^2)=x(1+sc)$$
であるから、
$$\begin{aligned} y&=4x(1+sc)+3\sqrt{2}sc\\ &=4x+2x(1-x^2)+\frac{3\sqrt{2}}{2}(1-x^2)\\ &=-2x^3-\frac{3\sqrt{2}}{2}x^2+6x+\frac{3\sqrt{2}}{2} \quad(-\sqrt{2}\leqq x\leqq\sqrt{2}). \end{aligned}$$$$y=4x(1+sc)+3\sqrt{2}sc$$$$=4x+2x(1-x^2)+\frac{3\sqrt{2}}{2}(1-x^2)$$$$=-2x^3-\frac{3\sqrt{2}}{2}{x}^2+6x+\frac{3\sqrt{2}}{2}(-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}).$$

(3) $f(x)=-2x^3-\frac{3\sqrt{2}}{2}x^2+6x+\frac{3\sqrt{2}}{2}$ とおくと、
$$f'(x)=-6x^2-3\sqrt{2}x+6=-3(2x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}).$$
定義域 $-\sqrt{2}\leqq x\leqq\sqrt{2}$ では、$-\sqrt{2}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}$ で $f'(x)>0$、$\frac{1}{\sqrt{2}}<x\leqq\sqrt{2}$ で $f'(x)<0$ となる。よって最大値は $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ のときにとる。
$$f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{13\sqrt{2}}{4},\quad f(-\sqrt{2})=-\frac{7\sqrt{2}}{2},\quad f(\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
したがって最小値は $x=-\sqrt{2}$ のときの $-\frac{7\sqrt{2}}{2}$ である。

最大値をとるときは
$$\sqrt{2}\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}.$$
$0\leqq\theta<2\pi$ の範囲では $\theta-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$ であるから、$\theta=\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12}$。また最小値をとるときは
$$\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=-1$$
より $\theta-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}$、すなわち $\theta=\frac{7\pi}{4}$。