4広島大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1)
$$b_1=\log_2 2=1.$$
また
$$a_2=\left(\frac{1^6\cdot2}{2^3}\right)^2=\frac1{16}, \qquad b_2=\log_2\frac{1/16}{2^2}=\log_2\frac1{64}=-6.$$
従って
$$\boxed{b_1=1,\quad b_2=-6}.$$

(2)
漸化式から
$$\begin{aligned} b_{n+1} &=\log_2\frac{a_{n+1}}{(n+1)^2} =\log_2\frac{n^{12}}{a_n^6}\\ &=-6\log_2\frac{a_n}{n^2}=-6b_n. \end{aligned}$$$$b_{n+1}={\log }_2\frac{a_{n+1}}{(n+1{)}^2}={\log }_2\frac{n^{12}}{a_n^6}$$$$=-6{\log }_2\frac{a_n}{n^2}=-6b_n.$$
したがって $\{b_n\}$ は初項1、公比 $-6$ の等比数列であり、
$$\boxed{b_n=(-6)^{n-1}}.$$

(3)
$1\leqq k\leqq n$ なら $0\leqq\log_2k\leqq\log_2n$ だから
$$0\leqq \frac1{6^{2n}}\sum_{k=1}^n\log_2k \leqq \frac{n\log_2n}{6^{2n}}\longrightarrow0$$
（右辺の極限は問題文で与えられている）。従って
$$\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac1{6^{2n}}\sum_{k=1}^n\log_2k=0}.$$

(4)
$b_{2k}=\log_2(a_{2k}/(2k)^2)=(-6)^{2k-1}=-6^{2k-1}$ より
$$\log_2a_{2k}=-6^{2k-1}+2\log_2(2k) =-6\cdot36^{k-1}+2+2\log_2k.$$
従って
$$\begin{aligned} \frac1{6^{2n}}\sum_{k=1}^n\log_2a_{2k} &=-\frac6{36^n}\sum_{k=1}^n36^{k-1} +\frac{2n}{36^n}+\frac2{36^n}\sum_{k=1}^n\log_2k\\ &=-\frac6{35}\left(1-\frac1{36^n}\right) +\frac{2n}{36^n}+\frac2{36^n}\sum_{k=1}^n\log_2k. \end{aligned}$$$$\frac{1}{6^{2n}}\sum _{k=1}^n{\log }_2{a}_{2k}=-\frac{6}{36^n}\sum _{k=1}^{n}36^{k-1}+\frac{2n}{36^n}+\frac{2}{36^n}\sum _{k=1}^n{\log }_{2}k$$$$=-\frac{6}{35}\left(1-\frac{1}{36^n}\right)+\frac{2n}{36^n}+\frac{2}{36^n}\sum _{k=1}^n{\log }_{2}k.$$
最後の2項は(3)および問題文で与えられた極限から0に収束する。ゆえに
$$\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac1{6^{2n}}\sum_{k=1}^n\log_2a_{2k}=-\frac6{35}}.$$