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広島大学／2023年度／前期

3広島大学 2023年 数学 第3問解答・解説

ベクトル図形と計量

1問題

広島大学2023年度第3問
空間内の6点 AA、BB、CC、DD、EE、FF は1辺の長さが1の正八面体の頂点であり、四角形 ABCDABCD は正方形であるとする。b⃗=AB→\vec{b}=\overrightarrow{AB}、d⃗=AD→\vec{d}=\overrightarrow{AD}、e⃗=AE→\vec{e}=\overrightarrow{AE} とおくとき、次の問いに答えよ。

(1) 内積 b⃗⋅d⃗\vec{b}\cdot\vec{d}、b⃗⋅e⃗\vec{b}\cdot\vec{e}、d⃗⋅e⃗\vec{d}\cdot\vec{e} の値を求めよ。

(2) AF→=pb⃗+qd⃗+re⃗\overrightarrow{AF}=p\vec{b}+q\vec{d}+r\vec{e} を満たす実数 pp、qq、rr の値を求めよ。

(3) 辺 BEBE を 1:21:2 に内分する点を GG とする。また、0<t<10<t<1 を満たす実数 tt に対し、辺 CFCF を t:(1−t)t:(1-t) に内分する点を HH とする。tt が 0<t<10<t<1 の範囲を動くとき、△AGH\triangle AGH の面積が最小となる tt の値とそのときの △AGH\triangle AGH の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    b⃗⋅d⃗=0\vec{b}\cdot\vec{d}=0、b⃗⋅e⃗=12\vec{b}\cdot\vec{e}=\dfrac{1}{2}、d⃗⋅e⃗=12\vec{d}\cdot\vec{e}=\dfrac{1}{2}。
  • (2)
    p=1p=1、q=1q=1、r=−1r=-1。
  • (3)
    t=13t=\dfrac{1}{3} のとき最小となり、そのときの面積は 4218\dfrac{\sqrt{42}}{18}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

b⃗=AB→\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}、d⃗=AD→\vec{d}=\overrightarrow{\mathrm{AD}} は長さ 1 のベクトルで直交するので b⃗⋅d⃗=0\vec{b}\cdot\vec{d}=0 である。また BE\mathrm{BE}、DE\mathrm{DE} も辺の長さが 1 なので ∣e⃗−b⃗∣2=∣e⃗−d⃗∣2=1|\vec{e}-\vec{b}|^{2}=|\vec{e}-\vec{d}|^{2}=1 である。これを展開して b⃗⋅e⃗=d⃗⋅e⃗=12\vec{b}\cdot\vec{e}=\vec{d}\cdot\vec{e}=\dfrac{1}{2} を得る。

(2)

正八面体の中心を O\mathrm{O} とおけば、O\mathrm{O} は正方形 ABCD\mathrm{ABCD} の中心であり、かつ EF\mathrm{EF} の中点である。従って
AO→=b⃗+d⃗2=e⃗+AF→2 \overrightarrow{\mathrm{AO}}=\dfrac{\vec{b}+\vec{d}}{2}=\dfrac{\vec{e}+\overrightarrow{\mathrm{AF}}}{2}
から AF→=b⃗+d⃗−e⃗\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{e} であり、係数は p=1p=1、q=1q=1、r=−1r=-1 である。

(3)

BG:GE=1:2\mathrm{BG}:\mathrm{GE}=1:2 から AG→=2b⃗+e⃗3\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\dfrac{2\vec{b}+\vec{e}}{3}。CH:HF=t:(1−t)\mathrm{CH}:\mathrm{HF}=t:(1-t) から
AH→=(1−t)AC→+tAF→=b⃗+d⃗−te⃗. \overrightarrow{\mathrm{AH}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AC}}+t\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\vec{b}+\vec{d}-t\vec{e}.
内積を計算すると
∣AG→∣2=79,∣AH→∣2=t2−2t+2,AG→⋅AH→=1−2t3. |\overrightarrow{\mathrm{AG}}|^{2}=\dfrac{7}{9},\qquad |\overrightarrow{\mathrm{AH}}|^{2}=t^{2}-2t+2,\qquad \overrightarrow{\mathrm{AG}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AH}}=1-\dfrac{2t}{3}.
△AGH\triangle\mathrm{AGH} の面積の二乗は
14(∣AG→∣2∣AH→∣2−(AG→⋅AH→)2)=3t2−2t+536=3(t−13)2+14336 \dfrac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\mathrm{AG}}|^{2}|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|^{2}-(\overrightarrow{\mathrm{AG}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AH}})^{2}\right)=\dfrac{3t^{2}-2t+5}{36}=\dfrac{3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^{2}+\dfrac{14}{3}}{36}
である。指定区間 0<t<10<t<1 の中で最小となるのは t=13t=\dfrac{1}{3} のときで、そのときの面積は 4218\dfrac{\sqrt{42}}{18} である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 空間座標と空間ベクトル
  • ベクトルの内積
  • ベクトルによる図形の考察
  • 三角比と相互関係
  • 三角比による面積

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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