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広島大学／2023年度／前期

2広島大学 2023年 数学 第2問解答・解説

図形と方程式

1問題

広島大学2023年度第2問
原点を OO とする座標平面上の2点 A(3,0)A(3,0)、B(1,1)B(1,1) を考える。α\alpha、β\beta を実数とし、点 P(α,β)P(\alpha,\beta) は直線 OAOA 上にも直線 OBOB 上にもないとする。直線 OAOA に関して点 PP と対称な点を QQ とし、直線 OBOB に関して点 PP と対称な点を RR とする。次の問いに答えよ。

(1) 点 QQ および点 RR の座標を、α\alpha、β\beta を用いて表せ。

(2) 直線 OAOA と直線 QRQR が交点 SS をもつための条件を、α\alpha、β\beta のうちの必要なものを用いて表せ。さらに、このときの交点 SS の座標を、α\alpha、β\beta のうちの必要なものを用いて表せ。

(3) 直線 OBOB と直線 QRQR が交点 TT をもつための条件を、α\alpha、β\beta のうちの必要なものを用いて表せ。さらに、このときの交点 TT の座標を、α\alpha、β\beta のうちの必要なものを用いて表せ。

(4) α\alpha、β\beta は(2)と(3)の両方の条件を満たすとし、SS、TT は(2)、(3)で定めた点であるとする。このとき、直線 OAOA と直線 BSBS が垂直となり、直線 OBOB と直線 ATAT が垂直となる α\alpha、β\beta の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    Q(α,−β), R(β,α).Q(\alpha,-\beta),\ R(\beta,\alpha).
  • (2)
  • (3)
  • (4)

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) 直線 OAOA は y=0y=0、直線 OBOB は y=xy=x である。したがって対称な点は Q(α,−β)Q(\alpha,-\beta)、R(β,α)R(\beta,\alpha) となる。ここで PP は直線 OAOA 上にも直線 OBOB 上にもないので、β≠0\beta\ne0、α≠β\alpha\ne\beta であり、Q≠RQ\ne R である。
ベクトル QR→=(β−α, α+β)\overrightarrow{QR}=(\beta-\alpha,\ \alpha+\beta) に垂直な (α+β, α−β)(\alpha+\beta,\ \alpha-\beta) を法線ベクトルとすると、直線 QRQR の方程式は
(α+β)x+(α−β)y=α2+β2(\alpha+\beta)x+(\alpha-\beta)y=\alpha^2+\beta^2
である。
(2) y=0y=0 を代入すると (α+β)x=α2+β2(\alpha+\beta)x=\alpha^2+\beta^2 となる。α+β=0\alpha+\beta=0 のとき α=−β≠0\alpha=-\beta\ne0 なので右辺は 2β2>02\beta^2>0 となり、交点はない。よって条件は α+β≠0\alpha+\beta\ne0 で、このとき交点は
S(α2+β2α+β, 0)S\left(\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha+\beta},\,0\right)
である。
(3) y=xy=x を代入すると 2αx=α2+β22\alpha x=\alpha^2+\beta^2 となる。α=0\alpha=0 なら β≠0\beta\ne0 より解がない。したがって条件は α≠0\alpha\ne0 で、このとき交点は
T(α2+β22α, α2+β22α)T\left(\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{2\alpha},\,\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{2\alpha}\right)
である。
(4) S=(u,0)S=(u,0) とおく。直線 OAOA は水平なので、BS⊥OABS\perp OA となるのは BSBS が鉛直、すなわち u=1u=1 のときである。よって α2+β2=α+β\alpha^2+\beta^2=\alpha+\beta を得る。
T=(v,v)T=(v,v) とおく。直線 OBOB の傾きは 11 であり、これに垂直で A(3,0)A(3,0) を通る直線は y=−x+3y=-x+3 だから、v=3−vv=3-v、すなわち v=32v=\dfrac32 である。したがって α2+β2=3α\alpha^2+\beta^2=3\alpha である。
二つの式から β=2α\beta=2\alpha、さらに 5α2=3α5\alpha^2=3\alpha を得る。条件 α≠0\alpha\ne0 より α=35\alpha=\dfrac35、β=65\beta=\dfrac65 である。これは β≠0\beta\ne0、α≠β\alpha\ne\beta、α+β≠0\alpha+\beta\ne0、α≠0\alpha\ne0 を満たす。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 直線の方程式

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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