弘前大学 2024年数学第2問解答・解説

1問題

弘前大学2024年度第2問

6時00分を指したまま止まっている時計がある。1枚の硬貨を1回投げるごとに、表が出れば時計を5分進め、裏が出れば時計を5分遅らせる操作を行う。硬貨を12回投げて時計の操作を終えたとき、次の確率を求めよ。

(1) 時計が7時00分を指している確率

(2) 時計が6時00分を指している確率

(3) 時計が6時00分と7時00分の間を指している確率

ただし、6時00分と7時00分の間には、6時00分と7時00分を含めないこととする。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$1/4096$
(2)
$231/1024$
(3)
$1585/4096$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

各回が独立な公平な硬貨投げという通常の確率モデルを用いる。表の回数を

H

とすると、12回後の進みは

5H-5(12-H)=10(H-6)

分。
(1) 60分進むには

H=12

が必要なので、

\frac1{2^{12}}=\frac1{4096}

。
(2) 元の時刻に戻るのは

H=6

なので、

\frac{{}_{12}\mathrm{C}_{6}}{2^{12}}=\frac{924}{4096}=\frac{231}{1024}.

(3) 時計が6時より後、7時より前となるには

H=7,8,9,10,11

。従って

\frac{\sum_{k=7}^{11}{}_{12}\mathrm{C}_{k}}{2^{12}}=\frac{792+495+220+66+12}{4096}=\frac{1585}{4096}.

表裏各

1/2

で独立な12回の硬貨投げとし、時計の変化を表の回数

H

で表した。時刻条件を

H

の整数条件へ直し、二項係数で数えた。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

二項分布
時刻変化の式化

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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2答え

3解答

解答

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