1浜松医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

解の個数の意味 答案Aの重複度の議論に合わせ、解の個数は重複度を含めて数える。相異なる実数解を$n$個もつという読み方でも、以下の証明では全て$d_i=1$となり結論は成立する。
(a) $f$は多項式なので$\alpha\leqq x\leqq\beta$ の範囲で連続であり、最大値と最小値をとる。もしこの区間で恒等的に0なら内部のどの点でも$f'=0$となり結論を得る。そうでなければ、$\alpha<c<\beta$ を満たすある $c$ で$f(c)\ne0$である。$f(c)>0$なら最大値は正で、両端の値が0であることから最大値をとる点$\gamma$は内部にある。$f(c)<0$なら同じ理由で最小値をとる内部点$\gamma$を選べる。
最大の場合、十分小さい$h>0$に対し$\{f(\gamma+h)-f(\gamma)\}/h\leqq0$、$h<0$に対しこの平均変化率は$\geqq0$。微分可能なので左右の極限が等しく、$f'(\gamma)\leqq0$かつ$f'(\gamma)\geqq0$。従って$f'(\gamma)=0$。最小の場合も不等号を逆にして同様である。これは隣接する根だけでなく任意の相異なる根$\alpha,\beta$に成立する。
(b) 重複度の定義から$f(x)=(x-\alpha)^d h(x)$、$h(\alpha)\ne0$と書ける。積を微分すると
$$f'(x)=(x-\alpha)^{d-1}\{d h(x)+(x-\alpha)h'(x)\}.$$
波括弧内は$x=\alpha$で$d h(\alpha)\ne0$となる。従って重複度は「少なくとも」ではなく正確に$d-1$である。
(c) 相異なる根を小さい順に並べると、隣り合う根の間の$m-1$個の互いに交わらない開区間に、それぞれ(a)による導関数の根がある。これらは元の根とは異なる。(b)による元の根上の重複度の合計は$\sum_i(d_i-1)$である。仮定より$\sum_i d_i=n$なので
$$(m-1)+\sum_{i=1}^m(d_i-1)=\sum_{i=1}^m d_i-1=n-1.$$
従って空欄(c)は$n-1$。導関数は$n-1$次なので重複度込みの根は$n-1$個を超えず、以上で実数根を$n-1$個確保したため全根は実数である。$n=1$の場合は導関数が0でない定数となり根は0個で、結論と一致する。