1佐賀大学 2025年 数学 第1問解答・解説

目の確率を比例条件と全確率から定める。3の目の出現回数は二項分布で扱い、条件付き確率は和の偶奇ごとに場合分けする。

(2)(3)では、各回の投てきが互いに独立な反復試行であると仮定する。(1)は独立性を要しない。

1の目が出る確率を $p$ とすると、条件より $k$ の目が出る確率は $kp$ である。

(1) 全ての目の確率の和は $1$ だから、$p(1+2+3+4+5+6)=1$ より $p=1/21$ である。したがって、3の目が出る確率は $3p=1/7$ である。

(2) 1回の試行で3の目が出る確率は $1/7$、出ない確率は $6/7$ である。3の目が2回以上出る確率は、0回または1回出る確率を全体から引いて、$$1-\left(\dfrac{6}{7}\right)^n-{}_{n}\mathrm{C}_{1}\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{n-1}=1-\left(\dfrac{6}{7}\right)^n-\dfrac{n}{7}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{n-1}$$ となる。

(3) 1回の試行で奇数の目が出る確率は $(1+3+5)/21=3/7$、偶数の目が出る確率は $4/7$ である。2回の目の和が偶数となるのは、奇数どうしまたは偶数どうしが出る場合だから、その確率は $\left(3/7\right)^2+\left(4/7\right)^2=25/49$ である。

3の目が1回以上出て、和が偶数になるには、3の目ともう一方の奇数の目が出ればよい。該当する確率は、どちらの回に3が出るかを足し、3が2回出る場合を重複分として引いて、$2\cdot(1/7)(3/7)-(1/7)^2=5/49$ である。よって求める条件付き確率は $\dfrac{5/49}{25/49}=1/5$ である。