4浜松医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

正方形の紙$\alpha$に下図のような座標軸をとり、2点$\mathrm{A}(0,\,1)$、$\mathrm{B}(-2,\,0)$、および2直線$y=-1$、$x=2$を定める。以下この2直線をそれぞれ$\ell_{1}$、$\ell_{2}$と表す。このとき、点$\mathrm{A}$を直線$\ell_{1}$上の点$\mathrm{A}'(a,\,-1)$に重ねて$\alpha$を折ったときにできる折り目の直線を$\ell_{3}(a)$とする。ただし、$\mathrm{A}'$は$\alpha$上にとることとし、また、以下の操作はすべて$\alpha$上で行うこととする。以下の問いに答えよ。

(1) 直線$\ell_{3}(a)$の方程式を、$a$を用いて表せ。

(2) 点$\mathrm{A}$が直線$\ell_{1}$上に位置するように$\alpha$を折り、そのときにできる折り目により、$\alpha$を2つに分割する。このとき、点$\mathrm{A}$が直線$\ell_{1}$上に位置するような、どのような折り方をしても、その折り目に対して常に点$\mathrm{A}$と同じ側にある点全体の集合の境界線の方程式を求めよ。

(3) 点$\mathrm{A}$が直線$\ell_{1}$上の点$\mathrm{A}'$に重なると同時に、点$\mathrm{B}$が直線$\ell_{2}$上の点に重なるように$\alpha$を折るとき、$a$の値を求めよ。