3岐阜大学 2025年 数学 第3問解答・解説

山の位置は上から数える。注目するカードが $p\geqq2$ 番目にあるとき、山の一番上の別カードを取り除くと注目カードは $p-1$ 番目になる。そのカードを注目カードより上に戻す選び方は $p-2$ 通りで、位置は $p$ に戻る。注目カード自身またはその下のカードの下に戻す選び方は $6-p$ 通りで、位置は $p-1$ となる。各操作は4通り等確率である。注目カードが1番上のときは、それを取り除いて残り4枚のいずれかの下へ戻すため、位置2,3,4,5がそれぞれ1通りずつである。

(1) カード3は最初3番目。1回目に2番目へ動かす方法は3通り、2回目に1番目へ動かす方法は4通り。全結果は $4^2$ 通りなので
$$\boxed{\frac{3\cdot4}{4^2}=\frac34}.$$

(2) 最初はカード5が5番目である。1回目に上からのカードを5より上へ入れる方法は3通りで、5は5番目のまま。続く4回は5より下へ入れるので、5の位置を順に $5\to4\to3\to2\to1$ と下げる選択数は $1,2,3,4$ 通り。よって
$$\boxed{\frac{3\cdot1\cdot2\cdot3\cdot4}{4^5}=\frac9{128}}.$$

(3) 1回目は5より下へ入れるので5の位置は $5\to4$（1通り）。2回目は5より上へ入れるので位置4を保つ方法は $4-2=2$ 通り。最後の3回は5より下へ入れ、位置 $4\to3\to2\to1$ となる選び方は $2,3,4$ 通り。従って
$$\boxed{\frac{1\cdot2\cdot2\cdot3\cdot4}{4^5}=\frac3{64}}.$$

(4) カード5について、各時点の位置ごとの場合の数を数える。列は位置 $5,4,3,2,1$ の順である。
$$\begin{array}{c|rrrrr} \text{操作回数}&5&4&3&2&1\\\hline 0&1&0&0&0&0\\ 1&3&1&0&0&0\\ 2&9&5&2&0&0\\ 3&27&19&12&6&0\\ 4&81&65&50&36&24 \end{array}$$
4回後に2番目にある36通りそれぞれについて、最後の操作で1番目へ移す方法が4通りある。したがって
$$\boxed{\frac{36\cdot4}{4^5}=\frac9{64}}.$$

(5) カード4は最初4番目。各時点の位置ごとの場合の数は
$$\begin{array}{c|rrrrr} \text{操作回数}&5&4&3&2&1\\\hline 0&0&1&0&0&0\\ 1&0&2&2&0&0\\ 2&0&4&6&6&0\\ 3&0&8&14&18&24\\ 4&24&40&54&66&72 \end{array}$$
となる。4回後に2番目にある66通りそれぞれについて、最後の操作で1番目へ移す方法は4通り。よって
$$\boxed{\frac{66\cdot4}{4^5}=\frac{33}{128}}.$$