4岐阜大学 2025年 数学 第4問解答・解説

$n$ を自然数とする。$z_{1}=1$、$z_{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ とし、複素数 $z_{n+2}$ を $z_{n+2}\,\overline{z_{n+1}}=z_{n+1}\,\overline{z_{n}}$ を満たすように定める。ただし、$i$ は虚数単位であり、複素数 $\overline{z_{n}}$ は $z_{n}$ の共役な複素数とする。以下の問に答えよ。

(1) $\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\theta+i\sin\theta$ となる $\theta$ で $0\leqq\theta<2\pi$ を満たすものを求めよ。

(2) $|z_{n}|$ を求めよ。

(3) $\dfrac{z_{n+1}}{z_{n}}$ の実部を $a_{n}$、虚部を $b_{n}$ とする。$a_{n}$ と $b_{n}$ を求めよ。

(4) $z_{n}$ の虚部を $y_{n}$ とする。$\displaystyle\sum_{n=1}^{100}y_{n}$ の値を求めよ。