1岐阜大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$a > 0$ とする。空間内の5点A $(a,0,0)$、B $(0,a,0)$、C $(-a,0,0)$、D $(0,-a,0)$、E $(0,0,2a)$ を頂点とする正四角錐を考える。3辺EB、EC、ED上に $\overrightarrow{\mathrm{EF}} = t\overrightarrow{\mathrm{EB}}$、$\overrightarrow{\mathrm{EG}} = s\overrightarrow{\mathrm{EC}}$、$\overrightarrow{\mathrm{EH}} = t\overrightarrow{\mathrm{ED}}$ となる3点F、G、Hをとる。ただし、$0 < s \leqq 1$、$0 < t \leqq 1$ とする。線分AGと線分FHは交点Iをもつとする。以下の問に答えよ。

(1) I の座標を a と t で表せ。

(2) t を s で表せ。

(3) $\mathrm{BI}\perp\mathrm{DI}$ のとき、$s$ の値を求めよ。

(4) $\mathrm{BI}\perp\mathrm{DI}$ とする。$\angle\mathrm{BGD}=\theta$ とするとき、$\cos\theta$ の値を求めよ。