岐阜大学 2022年数学第2問解答・解説

1問題

岐阜大学2022年度第2問

ある製品が工場 A と工場 B で生産されている。工場 A で生産された製品が不良品である確率を

\frac{1}{20}

、工場 B で生産された製品が不良品である確率を

\frac{1}{10}

とする。以下の問に答えよ。

(1) 工場 A と工場 B で生産された多数の製品がある。その中から1つ取り出すとき、その製品が工場 A で生産されたものである確率を

\frac{3}{5}

、工場 B で生産されたものである確率を

\frac{2}{5}

とする。取り出された製品が不良品である確率を求めよ。

(2) 製品が不良品か否かを判定する検査装置の導入を考える。この検査装置は検査対象が不良品だったとき、

\frac{9}{10}

の確率で不良品であることを正しく判定する。一方、不良品でない製品を検査したときにも

\frac{1}{10}

の確率で不良品であると誤って判定する。工場 A で生産された製品を1つ取り出して検査装置で検査したとき、それが不良品と判定される確率を求めよ。

(3) 工場 A で生産された製品を1つ取り出して(2)の検査装置で検査したところ、不良品と判定された。その製品が実際に不良品である確率を求めよ。

(4) 工場 A で生産された製品を出荷前に(2)の検査装置で検査し、不良品と判定されたものを取り除いてから出荷する。このとき、工場 A から出荷された検査済みの製品が実際に不良品である確率を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$\frac{7}{100}$
(2)
$\frac{7}{50}$
(3)
$\frac{9}{28}$
(4)
$\frac{1}{172}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

事象を工場別および実際の品質別に分けて全確率を計算し、検査結果を条件とする箇所では条件付き確率（ベイズの定理）を用いる。

解答

不良品である事象を

D

，検査で不良品と判定される事象を

T

とする。検査では

P_{D}(T)=\frac{9}{10}

，

P_{D^c}(T)=\frac{1}{10}

であり，したがって

P_{D}(T^c)=\frac{1}{10}

，

P_{D^c}(T^c)=\frac{9}{10}

である。

(1) 工場別の生産割合で場合分けすると

P(D)=\frac35\cdot\frac1{20}+\frac25\cdot\frac1{10}=\frac3{100}+\frac4{100}=\boxed{\frac7{100}}.

(2) 工場 A では

P_{A}(D)=\frac1{20}

，

P_{A}(D^c)=\frac{19}{20}

なので，検査で不良品と判定される確率は

P_{A}(T)=\frac1{20}\cdot\frac9{10}+\frac{19}{20}\cdot\frac1{10}=\frac9{200}+\frac{19}{200}=\boxed{\frac7{50}}.

(3) 求める確率は条件付き確率より

P_{T,A}(D)=\frac{P_{A}(D\cap T)}{P_{A}(T)}=\frac{\frac1{20}\cdot\frac9{10}}{\frac7{50}}=\frac{9/200}{28/200}=\boxed{\frac9{28}}.

(4) 出荷されるのは検査で不良品と判定されなかった製品，すなわち

T^c

の場合である。したがって

P_{T^c,A}(D)=\frac{P_{A}(D\cap T^c)}{P_{A}(T^c)} =\frac{\frac1{20}\cdot\frac1{10}}{\frac1{20}\cdot\frac1{10}+\frac{19}{20}\cdot\frac9{10}} =\frac{1/200}{172/200}=\boxed{\frac1{172}}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

確率の基本法則
条件付き確率
余事象

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

2岐阜大学 2022年数学第2問解答・解説

1問題

2答え

3解答

考え方

解答

次にやること

似た問題を、ほかの大学で