1福井大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$r_n$ を $a_n$ の3を法とする剰余とする。$a_1=a_2=1$、$a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$ より
$$(r_1,\ldots,r_8)=(1,1,0,1,2,2,0,2),\quad(r_9,r_{10})=(1,1)=(r_1,r_2).$$
同じ二項から以降が定まるため、この剰余列は周期8。
(1) $r_3=0$ より $z_3=1$、$z_2=-1/2+\sqrt3 i/2$。したがって
$$|z_3-z_2|=\left|\frac32-\frac{\sqrt3}{2}i\right|=\sqrt3.$$
(2) $z_n^3=\cos(2\pi a_n)+i\sin(2\pi a_n)=1$。一方 $(1/2+\sqrt3 i/2)^3=-1$ だから、この値がどの $z_n$ とも等しくなることはない。
(3) $z_n$ が実数となるのは $a_n$ は $3$ で割り切れる、つまり $r_n=0$ のとき。周期列では位置3,7 (mod 8) に現れる。$1\leqq n\leqq100$ で $n=3+8k$ は13個、$n=7+8k$ は12個、計$25$個。