4福井大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)

回転は正の向きなので、Bの偏角 $2\dfrac{\pi}{3}$ に $\theta$ を加える。$\theta=5\dfrac{\pi}{12}$ ではYのxy成分が $(2\cos(13\dfrac{\pi}{12}),2\sin(13\dfrac{\pi}{12}))$ となり、z座標は6である。従って(1)の座標を得る。

(2)

ABの長さは $2\sqrt3$ で、直線ABの方程式は $x+\sqrt3y=2$。Xのxy座標は $(2\cos\theta,2\sin\theta)$ である。Xのxy平面への射影からABまでの距離は
$$\dfrac{|2\cos\theta+2\sqrt3\sin\theta-2|}{2}=2\cos(\theta-\dfrac{\pi}{3})-1.$$
区間 $0<\theta<2\dfrac{\pi}{3}$ では $|\theta-\dfrac{\pi}{3}|<\dfrac{\pi}{3}$ だから、この値は正で最大値1を $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ でとる。Xは平面 $z=6$ 上にあるので、ABからXまでの距離は最大 $\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}$。よって三角形ABXの面積最大値は $\dfrac12(2\sqrt3)\sqrt{37}=\sqrt{111}$。

(3)

$A+B+C=0$ なので、回転後のD,E,Fの和も0。Z方向に6だけ平行移動したXYZの重心は $G=(0,0,6)$。底面ABCは一辺 $2\sqrt3$ の正三角形で面積 $3\sqrt3$、四面体の高さは6だから体積は $6\sqrt3$。OからABまでの距離は1であるため、Gから各辺AB, BC, CAまでの距離は $\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}$。側面積は各 $\dfrac12(2\sqrt3)\sqrt{37}=\sqrt{111}$ で、全表面積は $3\sqrt3+3\sqrt{111}$。内接球の半径は $r=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{6}{1+\sqrt{37}}=\dfrac{\sqrt{37}-1}{6}$。