1札幌医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) $z=x+yi$（$x,y\text{ は実数}$）とおく。絶対値の両辺は非負なので、両辺を平方する変形は同値である。
$$\begin{aligned} |z+3i|=2|z| &\quad\text{と同値な式は}\quad x^2+(y+3)^2=4(x^2+y^2)\\ &\quad\text{と同値な式は}\quad x^2+(y-1)^2=4. \end{aligned}$$$$|z+3i|=2|z|\text{と同値な式は}{x}^2+(y+3{)}^2=4(x^2+y^2)$$$$\text{と同値な式は}{x}^2+(y-1{)}^2=4.$$
また、
$$|z-4i|=|z|\text{ と同値な式は }x^2+(y-4)^2=x^2+y^2\text{、すなわち }y=2.$$
共有点では $y=2$ であるから、第一の式に代入して $x^2+1=4$、すなわち $x=\pm\sqrt3$ を得る。したがって、求める複素数は
$$z=\sqrt3+2i,\qquad z=-\sqrt3+2i$$
である。

(2) 各因子は正なので、対数の性質により
$$\log a_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\log\left(1+\frac{k}{n}\right).$$
右辺は $0\leqq x\leqq1$ を $n$ 等分し、各小区間の右端での $\log(1+x)$ の値に幅 $1/n$ を掛けて足したものである。この関数は連続なので、区分求積法より
$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\log a_n &=\int_0^1\log(1+x)\,dx\\ &=\left[(1+x)\log(1+x)-(1+x)\right]_0^1\\ &=2\log2-1. \end{aligned}$$$$\underset{n\to \infty }{\lim }\log a_n={\int }_0^1\log (1+x)dx$$$$={\left[(1+x)\log (1+x)-(1+x)\right]}_0^1$$$$=2\log 2-1.$$

(3)(i) 定義に従って合成すると
$$\begin{aligned} f_2(x)&=f\left(\frac{2x+1}{x+2}\right) =\frac{2(2x+1)+(x+2)}{(2x+1)+2(x+2)} =\frac{5x+4}{4x+5},\\ f_3(x)&=f\left(\frac{5x+4}{4x+5}\right) =\frac{2(5x+4)+(4x+5)}{(5x+4)+2(4x+5)} =\frac{14x+13}{13x+14},\\ f_4(x)&=f\left(\frac{14x+13}{13x+14}\right) =\frac{2(14x+13)+(13x+14)}{(14x+13)+2(13x+14)} =\frac{41x+40}{40x+41}. \end{aligned}$$$$f_2(x)=f\left(\frac{2x+1}{x+2}\right)=\frac{2(2x+1)+(x+2)}{(2x+1)+2(x+2)}=\frac{5x+4}{4x+5},$$$$f_3(x)=f\left(\frac{5x+4}{4x+5}\right)=\frac{2(5x+4)+(4x+5)}{(5x+4)+2(4x+5)}=\frac{14x+13}{13x+14},$$$$f_4(x)=f\left(\frac{14x+13}{13x+14}\right)=\frac{2(14x+13)+(13x+14)}{(14x+13)+2(13x+14)}=\frac{41x+40}{40x+41}.$$

(3)(ii) 以上から
$$f_n(x)=\frac{(3^n+1)x+(3^n-1)}{(3^n-1)x+(3^n+1)}\tag{*}$$
と推測する。数学的帰納法で示す。$n=1$ のとき、右辺は
$$\frac{4x+2}{2x+4}=\frac{2x+1}{x+2}=f_1(x)$$
となり、(*)は成り立つ。

$n=m$ で(*)が成り立つと仮定し、$t=3^m$ とおく。
$$N=(t+1)x+(t-1),\qquad D=(t-1)x+(t+1)$$
とすれば $f_m(x)=N/D$ である。$x>0$ および $t>1$ より $N,D>0$ だから $f_m(x)>0$ であり、$f(f_m(x))$ は定義される。帰納法の仮定を用いると
$$\begin{aligned} f_{m+1}(x)&=f(f_m(x))=\frac{2N+D}{N+2D}\\ &=\frac{(3t+1)x+(3t-1)}{(3t-1)x+(3t+1)}\\ &=\frac{(3^{m+1}+1)x+(3^{m+1}-1)}{(3^{m+1}-1)x+(3^{m+1}+1)}. \end{aligned}$$$$f_{m+1}(x)=f(f_m(x))=\frac{2N+D}{N+2D}$$$$=\frac{(3t+1)x+(3t-1)}{(3t-1)x+(3t+1)}$$$$=\frac{(3^{m+1}+1)x+(3^{m+1}-1)}{(3^{m+1}-1)x+(3^{m+1}+1)}.$$
よって $n=m+1$ でも(*)が成り立つ。以上から(*)はすべての自然数 $n$ について成り立つ。