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福井大学／2022年度

3福井大学 2022年 数学 第3問解答・解説

いろいろな式図形と方程式微分・積分の考え積分法

1問題

福井大学2022年度第3問
曲線 x3−2xy+y2=0x^{3}-2xy+y^{2}=0 のうち、x≧0x\geqq 0 を満たす部分を CC とする。このとき、以下の問いに答えよ。

(1) CC 上の点の xx 座標がとり得る値の範囲を求めよ。

(2) CC 上の点の yy 座標がとり得る値の範囲を求めよ。

(3) CC で囲まれた図形の面積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    0≦x≦10\leqq x\leqq1
  • (2)
    0≦y≦32270\leqq y\leqq\dfrac{32}{27}
  • (3)
    815\dfrac{8}{15}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

判別式の条件からx2(1−x)≧0x^{2}(1-x)\geqq0である。x≧0x\geqq0より0≦x≦10\leqq x\leqq1となる。

(2)

y±=x(1±1−x)y_{\pm}=x\left(1\pm\sqrt{1-x}\right)とおく。下側の枝のyy座標は0≦y≦10\leqq y\leqq1の範囲を動く。上側の枝y+y_{+}の最大を、t=1−xt=\sqrt{1-x}で調べる。y+=(1−t2)(1+t)y_{+}=(1-t^{2})(1+t)のttによる微分は(1+t)(1−3t)(1+t)(1-3t)である。よってt=13t=\dfrac{1}{3}（x=89x=\dfrac{8}{9}）で最大値3227\dfrac{32}{27}をとる。したがって0≦y≦32270\leqq y\leqq\dfrac{32}{27}である。

(3)

2枝の間の面積は
∫01(y+−y−) dx=2∫01x1−x dx=2(23−25)=815\displaystyle\int_{0}^{1}(y_{+}-y_{-})\,dx=2\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x}\,dx=2\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{8}{15}
である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 判別式
  • 媒介変数置換による最大値
  • 定積分

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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