3獨協医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

解法：平方根の整数部分を平方数区間ごとに群分けし、領域では整数xを固定した縦列の点数を加算する。テーマ：平方根の整数部分の総和と、直線・平方根曲線で囲まれた領域の格子点計数。

$n$ は自然数とし、$[a]$ は $a$ 以下の最大の整数を表す。

(1)
$k=1,2,3$ では $[\sqrt{k}]=1$、$k=4,5,6,7,8$ では $[\sqrt{k}]=2$、$k=9$ では $[\sqrt{k}]=3$ である。したがって
$$\sum_{k=1}^{9}[\sqrt{k}]=3\cdot1+5\cdot2+1\cdot3=16.$$
よって $\boxed{\text{アイ}}=16$。

(2)
自然数 $m$ に対し、$[\sqrt{k}]=m$ となる条件は
$$m\leqq\sqrt{k}<m+1\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad m^2\leqq k<(m+1)^2.$$
よって該当する自然数 $k$ は $m^2,m^2+1,\ldots,(m+1)^2-1$ であり、その個数は
$$(m+1)^2-m^2=2m+1.$$
したがって $\boxed{\text{ウ}}=2,\ \boxed{\text{エ}}=1$。

$1\leqq k\leqq n^2$ の範囲では、$m=1,\ldots,n-1$ の各群は全て含まれ、$m=n$ の群には $k=n^2$ だけが含まれる。したがって
$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n^2}[\sqrt{k}] &=\sum_{m=1}^{n-1}m(2m+1)+n\\ &=2\cdot\frac{(n-1)n(2n-1)}6+\frac{(n-1)n}2+n\\ &=\frac n6(4n^2-3n+5). \end{aligned}$$$$\sum _{k=1}^{n^2}[\sqrt{k}]=\sum _{m=1}^{n-1}m(2m+1)+n$$$$=2\cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}+\frac{(n-1)n}{2}+n$$$$=\frac{n}{6}(4n^2-3n+5).$$
よって $\boxed{\text{オ}}=6,\ \boxed{\text{カ}}=4,\ \boxed{\text{キ}}=3,\ \boxed{\text{ク}}=5$。

(3)
直線は $y=2x-8n^2$ である。曲線の $y$ 座標は非負なので、直線と曲線の交点では $2x-8n^2\geqq0$、すなわち $x\geqq4n^2$ である。一方、曲線の定義域から $x\leqq4n^2$ であるため、交点は $(4n^2,0)$ のみである。縦の境界 $x=3n^2$ 上では直線の高さが $-2n^2$、曲線の高さが $n$ だから、領域は
$$3n^2\leqq x\leqq4n^2,\qquad 2x-8n^2\leqq y\leqq\sqrt{4n^2-x}$$
で表される。

整数 $x$ に対して $j=4n^2-x$ とおくと、$j$ は $0,1,\ldots,n^2$ を動き、直線の高さは $-2j$、曲線の高さは $\sqrt j$ である。したがって、その $x$ に対する整数 $y$ の個数は
$$[\sqrt j]-(-2j)+1=[\sqrt j]+2j+1.$$
よって (2) の和を用いて
$$\begin{aligned} S(n) &=\sum_{j=0}^{n^2}([\sqrt j]+2j+1)\\ &=\frac n6(4n^2-3n+5)+n^2(n^2+1)+(n^2+1)\\ &=\frac16(6n^4+4n^3+9n^2+5n+6). \end{aligned}$$$$S(n)=\sum _{j=0}^{n^2}([\sqrt{j}]+2j+1)$$$$=\frac{n}{6}(4n^2-3n+5)+n^2(n^2+1)+(n^2+1)$$$$=\frac{1}{6}(6n^4+4n^3+9n^2+5n+6).$$
従って
$$(\boxed{\text{ケ}},\boxed{\text{コ}},\boxed{\text{サ}},\boxed{\text{シ}},\boxed{\text{ス}})=(6,4,9,5,6).$$