4獨協医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

O を原点とする座標空間内に、底面の円の半径が1で高さが1の円柱
$$C: x^2+y^2\leqq 1, \quad 0\leqq z\leqq 1$$
がある。$xy$ 平面上の直線 $y=-\frac{1}{2}\quad (z=0)$ を含み、点 $(0,1,1)$ を通る平面を $\alpha$ とする。平面 $\alpha$ で円柱 $C$ を2つの立体に分けるとき、点 $(0,1,0)$ を含む方の立体を $K$ とする。また、円柱 $C$ の側面と平面 $\alpha$ との交線（円柱 $C$ の側面と平面 $\alpha$ との共通部分）を $L$ とする。
曲線 $L$ 上に点 $P$ をとる。円 $x^2+y^2=1\quad (z=0)$ 上の点 $Q$ を線分 $PQ$ が $xy$ 平面に垂直となるような点とする。ただし、点 $P$ が $xy$ 平面上にあるときは、点 $Q$ は点 $P$ と同じ点であるとする。点 $P$ の $y$ 座標が $t$ であるとき、線分 $PQ$ の長さを $t$ を用いて表すと
$$\mathrm{PQ}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}t+\frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$$
である。
(1) 立体 $K$ の平面 $y=t\quad (-\frac{1}{2}\leqq t\leqq 1)$ による切断面の面積を $S(t)$ とすると
$$S(t)=\left(\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}t+\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\right)\sqrt{\boxed{\text{ケ}}-t^{\boxed{\text{コ}}}}$$
であり、立体 $K$ の体積を $V$ とすると
$$V=\frac{\sqrt{\boxed{\text{サ}}}}{\boxed{\text{シ}}}+\frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}\pi$$
である。
(2) $A(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},0)$ とし、円 $x^2+y^2=1\quad (z=0)$ の $y\geqq -\frac{1}{2}$ の部分における弧 $AQ$ の長さを $\theta$ とする。このとき、線分 $PQ$ の長さを $\theta$ を用いて表すと
$$\mathrm{PQ}=\frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}\sin\left(\theta-\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}\pi\right)+\frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}$$
である。したがって、円柱の側面のうち、円 $x^2+y^2=1\quad (z=0)$ の $y\geqq -\frac{1}{2}$ の部分と $L$ で囲まれた部分の面積を $W$ とすると
$$W=\frac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}+\frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}\pi$$
である。