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獨協医科大学／2023年度／2日目

2獨協医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

いろいろな式指数関数・対数関数数列

1問題

獨協医科大学2023年度第2問
正の数からなる数列 {an}\{a_n\} は、すべての正の整数 nn について
log⁡2(a1⋅a2⋅a3⋯⋅an)=−2n3+49+log⁡2an2\log_2(a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots \cdot a_n)=-2n^3+49+\log_2 a_n^2
を満たしている。
log⁡102=0.3010\log_{10}2=0.3010, log⁡103=0.4771\log_{10}3=0.4771 とする。
(1) bn=log⁡2anb_n=\log_2 a_n とおくとき、bn+1b_{n+1} を bnb_n を用いて表すと
bn+1=アbn+イn2+ウn+エ⋯(1)b_{n+1}=\boxed{\text{ア}}b_n+\boxed{\text{イ}}n^2+\boxed{\text{ウ}}n+\boxed{\text{エ}}\qquad\cdots \text{(1)}
である。f(n)=αn2+βn+γ(α,β,γは定数)f(n)=\alpha n^2+\beta n+\gamma\quad (\alpha,\beta,\gamma\text{は定数}) とする。
f(n+1)=アf(n)+イn2+ウn+エ⋯(2)f(n+1)=\boxed{\text{ア}}f(n)+\boxed{\text{イ}}n^2+\boxed{\text{ウ}}n+\boxed{\text{エ}}\qquad\cdots \text{(2)}
が nn についての恒等式となるような α,β,γ\alpha,\beta,\gamma の値を求めると
α=−オ,β=−カキ,γ=−クケ\alpha=-\boxed{\text{オ}}, \beta=-\boxed{\text{カキ}}, \gamma=-\boxed{\text{クケ}}
である。(1)－(2)より、数列 {bn−f(n)}\{b_n-f(n)\} は等比数列になる。よって、数列 {bn}\{b_n\} の一般項 bnb_n は
bn=コ⋅サn−シ−オn2−カキn−クケb_n=\boxed{\text{コ}}\cdot \boxed{\text{サ}}^{n-\boxed{\text{シ}}}-\boxed{\text{オ}}n^2-\boxed{\text{カキ}}n-\boxed{\text{クケ}}
となる。
　 (2) bnb_n が最小となる nn の値は
n=ス,セ(ス<セ)n=\boxed{\text{ス}}, \boxed{\text{セ}}\quad (\boxed{\text{ス}}<\boxed{\text{セ}})
である。また、ana_n の最小値は 2ソタチツ2^{\boxed{\text{ソタチツ}}} であり、2ソタチツ2^{\boxed{\text{ソタチツ}}} を小数で表したとき、小数第 テト\boxed{\text{テト}} 位に初めて0でない数 ナ\boxed{\text{ナ}} が現れる。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら、または詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) bn=log⁡2anb_n=\log_2 a_n とすると、条件は
∑k=1nbk=−2n3+49+2bn \sum_{k=1}^n b_k=-2n^3+49+2b_n
である。これを n+1n+1 の式から nn の式を引くと
bn+1=−2{(n+1)3−n3}+2(bn+1−bn), b_{n+1}=-2\{(n+1)^3-n^3\}+2(b_{n+1}-b_n),
したがって
bn+1=2bn+6n2+6n+2.(1) b_{n+1}=2b_n+6n^2+6n+2. \tag{1}
また、n=1n=1 を元の条件に代入すると b1=−2+49+2b1b_1=-2+49+2b_1 より b1=−47b_1=-47 である。

f(n)=αn2+βn+γf(n)=\alpha n^2+\beta n+\gamma が (1) と同じ形の漸化式
f(n+1)=2f(n)+6n2+6n+2 f(n+1)=2f(n)+6n^2+6n+2
を満たすように係数を比較する。左辺は
αn2+(2α+β)n+(α+β+γ)\alpha n^2+(2\alpha+\beta)n+(\alpha+\beta+\gamma)、右辺は
(2α+6)n2+(2β+6)n+(2γ+2)(2\alpha+6)n^2+(2\beta+6)n+(2\gamma+2) なので、
α=−6,β=−18,γ=−26. \alpha=-6,\qquad \beta=-18,\qquad \gamma=-26.
このとき bn−f(n)b_n-f(n) は初項 b1−f(1)=−47−(−50)=3b_1-f(1)=-47-(-50)=3、公比2の等比数列である。よって
bn=3⋅2n−1−6n2−18n−26. b_n=3\cdot2^{n-1}-6n^2-18n-26.

(2) 隣り合う項の差をとると
bn+1−bn=3⋅2n−1−12n−24. b_{n+1}-b_n=3\cdot2^{n-1}-12n-24.
n=1,2,3,4,5n=1,2,3,4,5 ではこの値はそれぞれ −33,−42,−48,−48,−36-33,-42,-48,-48,-36 であり、n=6n=6 では0、n=7n=7 では84である。また、この差の次の項との差は
(bn+2−bn+1)−(bn+1−bn)=3⋅2n−1−12>0(n≧4) (b_{n+2}-b_{n+1})-(b_{n+1}-b_n)=3\cdot2^{n-1}-12>0\quad(n\geqq4)
だから、n≧7n\geqq7 では隣接差は正であり続ける。したがって bnb_n の最小値は n=6,7n=6,7 でとる。
b6=3⋅25−6⋅62−18⋅6−26=−254,b7=3⋅26−6⋅72−18⋅7−26=−254. b_6=3\cdot2^5-6\cdot6^2-18\cdot6-26=-254, \qquad b_7=3\cdot2^6-6\cdot7^2-18\cdot7-26=-254.
an=2bna_n=2^{b_n} であり、底2の指数関数は増加するから、ana_n の最小値は 2−2542^{-254} である。

与えられた常用対数を使うと
2−254≒10−254⋅0.3010=10−76.454=100.546⋅10−77. 2^{-254}\fallingdotseq10^{-254\cdot0.3010}=10^{-76.454}=10^{0.546}\cdot10^{-77}.
さらに log⁡103≒0.4771<0.546<0.6020≒log⁡104\log_{10}3\fallingdotseq0.4771<0.546<0.6020\fallingdotseq\log_{10}4 なので、3<100.546<43<10^{0.546}<4。従って 2−2542^{-254} は 33 と 44 の間の数に 10−7710^{-77} を掛けたものであり、小数第77位に初めて0でない数字3が現れる。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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