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旭川医科大学／2024年度

1旭川医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

図形と方程式微分法

1問題

旭川医科大学2024年度第1問
KK を正の実数とし、f(x)=log⁡(1+x2K2) f (x) = \log \left(1 + \dfrac {x ^ {2}}{K ^ {2}}\right)

とする。ただし、 log⁡x(x>0)\log x(x>0) は自然対数を表す。また、曲線 y=f(x)y=f(x) の変曲点の y 座標を b として、

g(x)=b−b2−x2 g (x) = b - \sqrt {b ^ {2} - x ^ {2}}

とする。曲線 y=g(x)y = g(x) は、円 x2+(y−b)2=b2x^{2} + (y - b)^{2} = b^{2} の下半円である。

H(x)=f(x)−g(x)H(x)=f(x)-g(x) とするとき、次の問いに答えよ。ただし、自然対数の底 ee について、必要ならば 2<e<32<e<3 を用いてもよい。

問 1 b の値を求めよ。

問 2 K=1 とするとき、H(x)H(x) が x=0 において極大値をとるか、極小値をとるかを判定せよ。

問 3 ∣x∣≦b|x| \leqq b において、KK の値により、次の (A), (B), (C) のいずれかが成り立つ。

(A) H(x)≧0H(x) \geqq 0 である
(B) H(x)H(x) は正の値も負の値もとる
(C) H(x)≦0H(x) \leqq 0 である

(A), (B), (C) のそれぞれが成り立つときの K の値の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 問1 b=ln 2。問2 x=0で極小値をとる。問3 (A) 0<K<=ln 2、(B) ln 2<K<sqrt(2 ln 2)、(C) K>=sqrt(2 ln 2)。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

問1　K>0K>0 で
f′(x)=2xK2+x2,f′′(x)=2(K2−x2)(K2+x2)2.f'(x)=\frac{2x}{K^2+x^2},\qquad f''(x)=\frac{2(K^2-x^2)}{(K^2+x^2)^2}.
x=±Kx=\pm K で二階導関数の符号が変わるので、変曲点の高さは b=f(±K)=log⁡2b=f(\pm K)=\boxed{\log2}。

問2　g(x)=b−b2−x2g(x)=b-\sqrt{b^2-x^2} より g′(0)=0g'(0)=0、g′′(0)=1/bg''(0)=1/b。K=1K=1 では
H′(0)=0,H′′(0)=2−1log⁡2>0.H'(0)=0,\qquad H''(0)=2-\frac1{\log2}>0.
最後の不等号は e<3<4e<3<4 より log⁡2>1/2\log2>1/2 を用いた。従って x=0x=0 で極小値をとる。

問3　t=x2t=x^2 とおき
Φ(t)=log⁡(1+t/K2)−b+b2−t(0≦t≦b2)\Phi(t)=\log(1+t/K^2)-b+\sqrt{b^2-t}\quad(0\leqq t\leqq b^2)
とすると H(x)=Φ(x2)H(x)=\Phi(x^2)、Φ(0)=0\Phi(0)=0。0≦t<b20\leqq t<b^2 で
Φ′(t)=1K2+t−12b2−t,Φ′′(t)=−1(K2+t)2−14(b2−t)3/2<0.\Phi'(t)=\frac1{K^2+t}-\frac1{2\sqrt{b^2-t}},\qquad \Phi''(t)=-\frac1{(K^2+t)^2}-\frac1{4(b^2-t)^{3/2}}<0.
したがって、tt が大きくなると Φ′(t)\Phi'(t) は必ず小さくなり、右端で −∞-\infty に向かう。
K≧2bK\geqq\sqrt{2b} なら Φ′(0)≦0\Phi'(0)\leqq0 なので t>0t>0 で Φ(t)<0\Phi(t)<0。これが(C)である。

K<2bK<\sqrt{2b} なら Φ′(0)>0\Phi'(0)>0 で、Φ\Phi は一度増加した後に減少する。従って全区間で非負となる条件は右端値が非負であること、すなわち
Φ(b2)=log⁡(1+b2/K2)−b≧0すなわちK≦b\Phi(b^2)=\log(1+b^2/K^2)-b\geqq0\text{すなわち} K\leqq b
である（eb=2e^b=2）。これが(A)であり、右端が負なら原点近くの正の値と合わせて(B)となる。0<b<20<b<2 より b<2bb<\sqrt{2b} だから、結論は
(A): 0<K≦log⁡2,(B): log⁡2<K<2log⁡2,(C): K≧2log⁡2.\boxed{\begin{aligned}(A)&:\ 0<K\leqq\log2,\\(B)&:\ \log2<K<\sqrt{2\log2},\\(C)&:\ K\geqq\sqrt{2\log2}.\end{aligned}}

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 二階導関数
  • 偶関数の置換
  • 単調性と端点値

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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