2旭川医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

方程式を $f(x)=x^3-3ax+b=0$ とおく。

問1(1) まず、方程式が実数解を1つだけもち、残りが非実数の共役な2解となる条件を調べる。$a\leqq0$ なら $f'(x)=3(x^2-a)\geqq0$ で、$f$ は $x$ が大きくなると必ず大きくなるので実数解は1つである。$a>0$ では極大・極小をとる点は $-\sqrt a,\sqrt a$ であり、
$$f(-\sqrt a)=b+2a^{3/2},\qquad f(\sqrt a)=b-2a^{3/2}.$$
両極値が同符号であれば実数解は1つとなるため、共通の条件は $b^2>4a^3$ である。

3解を $c,\alpha,\overline\alpha$（$c$ は実数、$\alpha=u+vi$、$v\ne0$）とする。解と係数の関係から
$$c+2u=0,\qquad -c^2+u^2+v^2=-3a,$$
したがって $u=-\frac c2$、$v^2=\frac34(c^2-4a)$ である。よって
$$\alpha,\overline\alpha=-\frac c2\pm\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{c^2-4a}\,i.$$
共役な2解を結ぶ直線は実部 $-c/2$ の垂直線である。実数解 $c$ もその直線上にあるのは $c=0$ の場合に限る。解の積 $c\alpha\overline\alpha=-b$ と $\alpha\overline\alpha=|\alpha|^2>0$ から、これは $b=0$ と同値である。したがって求める領域は
$$\begin{cases}b\ne0,&a\leqq0,\\b>2a^{3/2}\text{ または }b<-2a^{3/2},&a>0.\end{cases}$$
求める領域は、$a\leqq0$ では $b\ne0$ の部分、$a>0$ では2曲線 $b=\pm2a^{3/2}$ の外側の部分であり、曲線上の点は含まない。

問2 方程式の3解を頂点とする三角形が中心1の円に内接するので、実数解と共役解の中心1からの距離が等しい。上の $v^2$ を使うと
$$(c-1)^2=\left(-\frac c2-1\right)^2+v^2=c^2+c+1-3a,$$
よって $c=a$ である。したがって3頂点と半径は
$$a,\qquad -\frac a2\pm\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{a^2-4a}\,i, \qquad r=|a-1|.$$
非実数解である条件 $a^2-4a>0$ より、$a<0$ または $a>4$ である。また実数解 $c=a$ を元の方程式へ代入すると $b=a^2(3-a)$ を得る。

(1) $r=2$ なら $|a-1|=2$、すなわち $a=-1$ または $a=3$。上の範囲に入るのは $a=-1$ だけで、$b=a^2(3-a)=4$。
(2) したがって答えは $a, -\frac a2\pm\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{a^2-4a}\,i$、$r=|a-1|$、$a<0$ または $a>4$ である。