3旭川医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

四面体 ABCD において、$\mathrm{AB}=4$、$\mathrm{BC}=6$、$\angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{BCD}=60^{\circ}$ とする。 辺 AC を $\mathrm{AL}:\mathrm{LC}=1:6$ に内分する点 $\mathrm{L}$ をとり、点 A から辺 BC に垂線を下ろし、辺 BC との交点を M とする。 AM と BL との交点を P とするとき、次の各問いに答えよ。

問 1 辺 AC の長さ、および内積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ の値を求めよ。

問 2 $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を用いて表せ。

問 3 三角形 ABC を含む平面を α とする。点 D から平面 α に下ろした垂線と平面 α との交点は P に一致する。

(1) PD の長さを求めよ。

(2) PD 上に $\overrightarrow{PQ}=k\overrightarrow{PD}$ となる点 Q をとる。 $\overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ のとき、$k$ の値と四面体 $\mathrm{QABC}$ の体積を求めよ。 ただし、$0<k<1$ とする。