III福岡大学 2022年 数学 第III問解答・解説

福岡大学 2022 問題 III

$$x=e^{-2}-e^{at},\qquad y=-2t+e^{2at},\qquad a>0.$$

(i)

曲線が $x$ 軸に接するとき、接点の媒介変数を $t_0$ とする。$x'(t)=-ae^{at}\ne0$ だから接線が水平である条件は $y(t_0)=0,\ y'(t_0)=0$。ここで

$$y'(t)=-2+2ae^{2at}.$$

従って

$$ae^{2at_0}=1,\qquad e^{2at_0}=2t_0.$$

二式から $2at_0=1$。これを第二式に代入すると $e=2t_0$ なので $t_0=e/2$、さらに

$$\boxed{a=\frac1e}.$$

(ii)

$a=1/e$ とする。$x(t)=0$ は $e^{at}=e^{-2}$ と同値なので $t=-2e$。このとき曲線は

$$(0,\ 4e+e^{-4})$$

を通る。一方、接点は $t_0=e/2$ で、座標は
$(e^{-2}-e^{1/2},0)$。また $x'(t)<0$ で、$-2e\leqq t\leqq e/2$ では $y'(t)\leqq0$、両端以外で $y(t)>0$。従ってこの曲線弧と座標軸が囲む部分の面積は

$$\begin{aligned} A&=\int_{x(e/2)}^{0}y\,dx =-\int_{-2e}^{e/2} y(t)x'(t)\,dt\\ &=\int_{-2e}^{e/2}(-2t+e^{2t/e})e^{t/e-1}\,dt. \end{aligned}$$$$A={\int }_{x(e/2)}^{0}ydx=-{\int }_{-2e}^{e/2}y(t)x^{\prime }(t)dt$$$$={\int }_{-2e}^{e/2}(-2t+e^{2t/e})e^{t/e-1}dt.$$

被積分関数の原始関数は

$$F(t)=-2(t-e)e^{t/e}+\frac13e^{3t/e},$$

と確認できる。したがって

$$\begin{aligned} A&=F(e/2)-F(-2e)\\ &=\frac43e^{3/2}-\left(\frac6e+\frac{1}{3e^6}\right). \end{aligned}$$$$A=F(e/2)-F(-2e)$$$$=\frac{4}{3}{e}^{3/2}-\left(\frac{6}{e}+\frac{1}{3e^6}\right).$$

よって求める面積は

$$\boxed{\frac43e^{3/2}-\frac6e-\frac{1}{3e^6}}.$$