3兵庫医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

三倍角公式、すべりなし条件からの円周上の回転量、媒介変数表示、曲線の速さの積分、閉曲線の面積積分を用いる。

　 (1) 加法定理と二倍角の公式から
$$\cos3\alpha=\cos2\alpha\cos\alpha-\sin2\alpha\sin\alpha=(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha-2\sin^2\alpha\cos\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha,$$
$$\sin3\alpha=\sin2\alpha\cos\alpha+\cos2\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos^2\alpha+(2\cos^2\alpha-1)\sin\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha.$$
よって $\boxed{\text{ア}}=-3,\boxed{\text{イ}}=4,\boxed{\text{ウ}}=3,\boxed{\text{エ}}=-4$。　
(2) 円O上の接点BはAから円周上を角 $\theta$ だけ進むので、進んだ弧の長さは $a\theta$ である。すべらないから、円C上で初めに接点にあった点Pから現在の接点Bまでの弧の長さも $a\theta$。よって連続的に測った回転角は
$$\dfrac{a\theta}{b}.$$
したがって転がり角としての $\angle BCP$ は $a\theta/b$ である。通常の $0$ から $\pi$ までの角で表すときは、$\cos\alpha=\cos\dfrac{a\theta}{b}$（$0\leqq\alpha\leqq\pi$）を満たす角 $\alpha$ となる。　
(3) 円Cの中心は
$$C=((a-b)\cos\theta,(a-b)\sin\theta)$$
である。接点への半径CBの向きは角 $\theta$、点Pへの半径CPの向きは、(2)よりCBから時計回りに $a\theta/b$ だけ回った向き、すなわち $-(a-b)\theta/b$ である。したがって
$$x=(a-b)\cos\theta+b\cos\left(\dfrac{a-b}{b}\theta\right),$$
$$y=(a-b)\sin\theta-b\sin\left(\dfrac{a-b}{b}\theta\right).$$
　
(4) $a:b=4:1$ より $b=a/4$ である。(3)に代入し、(1)の三倍角公式を用いると
$$x=\dfrac{3a}{4}\cos\theta+\dfrac a4\cos3\theta=a\cos^3\theta,$$
$$y=\dfrac{3a}{4}\sin\theta-\dfrac a4\sin3\theta=a\sin^3\theta.$$
よって $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ から
$$\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=a^{2/3}.$$
さらに
$$\dfrac{dx}{d\theta}=-3a\cos^2\theta\sin\theta,\qquad \dfrac{dy}{d\theta}=3a\sin^2\theta\cos\theta$$
なので速さは $3a|\sin\theta\cos\theta|$。各象限で $\int|\sin\theta\cos\theta|d\theta=1/2$ であるから、0から $2\pi$ までの長さは $3a\cdot4\cdot(1/2)=6a$。　
(5) $a:b=3:1$ より $b=a/3$。したがって
$$x=\dfrac{2a}{3}\cos\theta+\dfrac a3\cos2\theta,\qquad y=\dfrac{2a}{3}\sin\theta-\dfrac a3\sin2\theta.$$
微分すると
$$\dfrac{dx}{d\theta}=-\dfrac{2a}{3}(\sin\theta+\sin2\theta),\qquad \dfrac{dy}{d\theta}=\dfrac{2a}{3}(\cos\theta-\cos2\theta),$$
ゆえに
$$\sqrt{(dx/d\theta)^2+(dy/d\theta)^2}=\dfrac{4a}{3}\left|\sin\dfrac{3\theta}{2}\right|.$$
ここで $u=3\theta/2$ とおくと $\int_0^{2\pi}|\sin(3\theta/2)|d\theta=(2/3)\int_0^{3\pi}|\sin u|du=4$。したがって曲線の長さは $16a/3$。　
曲線は $0\leqq\theta\leqq2\pi$ で反時計回りに1周する。面積は水平細片の面積を境界に沿って加える式 $S=\int x\,dy$ で求められる。閉曲線なので $\int d(xy)=0$、したがって同じ値を $S=\dfrac12\int_0^{2\pi}(x(dy/d\theta)-y(dx/d\theta))d\theta$ と書ける。代入して整理すると
$$x(dy/d\theta)-y(dx/d\theta)=\dfrac{2a^2}{9}(1-\cos3\theta).$$
よって
$$S=\dfrac{a^2}{9}\int_0^{2\pi}(1-\cos3\theta)d\theta=\dfrac{2\pi a^2}{9}.$$