I横浜市立大学 2025年 数学 第I問解答・解説

(1) 分母の条件は $x\ne2,1,-4$ である。すべての項を左辺に移すと
$$\frac1{(x-2)(x-1)}+\frac5{(x-1)(x+4)}+\frac65=0.$$
最初の2項をまとめ、$x\ne1$ を用いると
$$\frac6{(x-2)(x+4)}+\frac65=0.$$
従って
$$(x-2)(x+4)=-5,\qquad (x+3)(x-1)=0.$$
候補 $x=1$ は定義域から除き、$x=-3$ は元の式を満たす。よって解は $x=-3$。

(2) 漸化式を初項から足し上げると
$$a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}3^{k-1} =1+\frac{3^{n-1}-1}{3-1} =\frac{3^{n-1}+1}{2}\qquad(n\geqq1).$$

(3) $t=x+1$ とおくと $t>1$ であり、与式は $t+4/t^2$ となる。ここで
$$t+\frac4{t^2}-3 =\frac{(t-2)^2(t+1)}{t^2}\geqq0.$$
等号は $t=2$、すなわち $x=1$ で成り立つので、最小値は $3$。

(4) 各項は
$$\frac1{(k+1)\sqrt{k}+k\sqrt{k+1}} =\frac1{\sqrt{k}}-\frac1{\sqrt{k+1}}$$
と書ける。従って和は
$$\sum_{k=1}^{n}\left(\frac1{\sqrt{k}}-\frac1{\sqrt{k+1}}\right) =1-\frac1{\sqrt{n+1}}.$$
この値が有理数であることは $\sqrt{n+1}$ が有理数であることと同値である。整数 $m>0$ について $\sqrt m=p/q$（互いに素な正整数 $p,q$）なら $p^2=mq^2$ であり、$q>1$ なら、$q$ の素因数 $r$ は $p^2=mq^2$ を割るので $p$ も割り、$p,q$ が互いに素であることに矛盾する。従って $q=1$ であり、$m$ は平方数である。よって $n+1$ が平方数でなければならない。$n\geqq100$ のもとで最小の平方数は $121=11^2$ だから、求める最小値は
$$\boxed{n=120}.$$