III横浜市立大学 2025年 数学 第III問解答・解説

平面の法線方向から垂足を求め、球の方程式の平方完成で中心と半径を得る。円上の最大距離は三角不等式と等号条件で特定する。

平面$\alpha$の方程式を$x-y-z+3=0$とする。

(1) 原点から平面$\alpha$への垂線は、法線ベクトル$(1,-1,-1)$と平行である。よって$H=(t,-t,-t)$とおける。これを平面の方程式に代入すると$3t+3=0$より$t=-1$であるから、$H=(-1,1,1)$。したがって$$OH=\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.$$

(2) 球$S$の方程式を平方完成すると$$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=3.$$よって中心は$M=(1,2,2)$、半径は$\sqrt{3}$である。また$1-2-2=-3$より$M$は平面$\alpha$上にある。したがって平面$\alpha$と球$S$の交わりである円$C$の中心は$M$、半径は$\sqrt{3}$であり、その面積は$$\pi(\sqrt{3})^2=3\pi.$$

(3) $\overrightarrow{HM}=(2,1,1)$であるから、$HM=\sqrt{6}$。円周上の点$P$について$MP=\sqrt{3}$なので、三角不等式より$HP\leqq HM+MP=\sqrt{6}+\sqrt{3}$。等号は$H,M,P$が一直線上にあり、$M$が$H$と$P$の間にあるときに成り立つ。したがって、$\overrightarrow{MP}$は$\overrightarrow{HM}$と同じ向きで$$\overrightarrow{MP}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\overrightarrow{HM}=\frac{1}{\sqrt{2}}(2,1,1)=\left(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$ゆえに$$P=M+\overrightarrow{MP}=\left(1+\sqrt{2},\ 2+\frac{\sqrt{2}}{2},\ 2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$$この点は$x-y-z=-3$を満たし、$MP^2=2+\frac12+\frac12=3$で円$C$上にあるため、条件を満たす。