II横浜市立大学 2025年 数学 第II問解答・解説

回文数の各桁は左右対称であるから、桁数が決まると上位の半分の数字を決めれば全体が定まる。

(1)

1 桁の回文数は 9 個、2 桁の回文数も 9 個である。したがって、3 桁の回文数は小さい方から数えて 19 番目から始まる。3 桁の回文数の最小は $101$ であるから、求める数は $101$ である。

(2)

3 桁の回文数では、百の位を 1 から 9 までの 9 通り、十の位を 0 から 9 までの 10 通りに選べるので、$9\times10=90$ 個である。4 桁の回文数では、千の位を 1 から 9 までの 9 通り、百の位を 0 から 9 までの 10 通りに選べば残りの 2 桁が定まるので、$9\times10=90$ 個である。3 桁の回文数はすべて $101$ 以上、4 桁の回文数はすべて $9999$ 以下だから、求める個数は $90+90=180$ 個である。

(3)

$k$ 桁の回文数では、上位の $h$ 桁を決めると残りが定まる。ここで $h$ は、$k$ が偶数なら $\dfrac{k}{2}$、奇数なら $\dfrac{k+1}{2}$ である。最上位の桁には 9 通り、ほかの $h-1$ 桁にはそれぞれ 10 通りあるから、その個数は $9\times10^{h-1}$ である。$j=1,\,2,\,\cdots,\,N$ について、$(2j-1)$ 桁と $2j$ 桁の回文数はそれぞれ $9\times10^{j-1}$ 個である。$10^{2N}$ より小さい正の整数は高々 $2N$ 桁なので、求める個数は
$$\sum_{j=1}^{N}2\cdot9\cdot10^{j-1}=18\cdot\dfrac{10^{N}-1}{10-1}=2(10^{N}-1)$$
である。

(4)

1 桁と 2 桁の回文数は合わせて 18 個、3 桁と 4 桁は合わせて 180 個、5 桁と 6 桁は合わせて 1800 個である。よって 6 桁以下では合計 $18+180+1800=1998$ 個あり、2025 番目は 7 桁の回文数のうち $2025-1998=27$ 番目である。7 桁の回文数は、上位 4 桁を $1000,\,1001,\,1002,\,\cdots$ と順に選べば一意に定まる。27 番目の上位 4 桁は $1026$ であり、これを左右対称に並べると $1026201$ となる。

(1) は 9 個の 1 桁数と 9 個の 2 桁数に続く最初の 3 桁数である。(3) で $N=1$ とすると 18 個となり、1 桁と 2 桁の個数の合計とも一致する。