4和歌山県立医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

折れ線と各直線の交点が辺を切り替えるaの値で区間分けし，領域を三角形に分けて面積を求める。面積式の変数を置き換えて不等式で最大・最小を定める。

直線$y=ax$と直交し原点を通る直線は$x+ay=0$である（$a=0$のときは$x=0$となる）。折れ線上で$y=ax$と交わる点を$P$，$x+ay=0$と交わる点を$Q$とする。各辺の方程式を用いると$$P=\begin{cases}\left(\dfrac{3}{2a-1},\dfrac{3a}{2a-1}\right)&(-1\leqq a\leqq0),\\\left(-\dfrac{3}{a+1},-\dfrac{3a}{a+1}\right)&(0\leqq a\leqq\tfrac12),\end{cases}\qquad Q=\begin{cases}\left(\dfrac{3a}{1-a},-\dfrac{3}{1-a}\right)&(-1\leqq a\leqq-\tfrac12),\\(2a,-2)&(-\tfrac12\leqq a\leqq\tfrac12).\end{cases}$$前者では$P$は辺$AB$または$BC$上，後者では$Q$は辺$BC$または$CD$上にある。
(1) 各場合で，原点$O$からの三角形に分け，座標と底辺・高さから面積を求める。$A=(-1,1),B=(-3,0),C=(-1,-2),D=(1,-2)$とする。$-1\leqq a\leqq-\tfrac12$では領域は$O,P,B,Q$を頂点とし，$$S=\frac12(3y_P-3y_Q)=\frac32\left(\frac{3a}{2a-1}+\frac{3}{1-a}\right)=\frac92\left(\frac{a}{2a-1}+\frac{1}{1-a}\right).$$$-\tfrac12\leqq a\leqq0$では領域を三角形$OPB,OBC,OCQ$に分けられる。各面積は$\frac32y_P,3,1+2a$なので$$S=\frac32\cdot\frac{3a}{2a-1}+3+(1+2a)=4+2a+\frac{9a}{2(2a-1)}.$$$0\leqq a\leqq\tfrac12$では領域を三角形$OPC,OCQ$に分ける。座標からその面積の2倍はそれぞれ$\frac{3(2-a)}{a+1}$と$2+4a$であるから$$S=\frac12\left(\frac{3(2-a)}{a+1}+2+4a\right).$$三つの式は$a=-\tfrac12,0$でそれぞれ一致する。
(2) 第1区間で$u=1-a$とおくと$\tfrac32\leqq u\leqq2$であり，$$S=\frac92\left(\frac{u-1}{2u-1}+\frac1u\right).$$括弧内を$g(u)$とする。$\tfrac32\leqq u_1<u_2\leqq2$なら$$g(u_2)-g(u_1)=(u_2-u_1)\left(\frac1{(2u_2-1)(2u_1-1)}-\frac1{u_1u_2}\right)<0,$$なぜなら$u_i>1$より$(2u_2-1)(2u_1-1)>u_1u_2$だからである。よってこの区間で$S$は$a$とともに増加し，$\frac{15}{4}\leqq S\leqq\frac{33}{8}$である。
第2区間で$t=1-2a$とおくと$1\leqq t\leqq2$であり，$$S=\frac{29}{4}-t-\frac{9}{4t}.$$相加平均・相乗平均より$t+\frac{9}{4t}\geqq3$で，等号は$t=\tfrac32$，すなわち$a=-\tfrac14$のときに成り立つ。したがって$S\leqq\frac{17}{4}$である。また$$S-4=\frac{(9-4t)(t-1)}{4t}\geqq0$$だからこの区間では$S\geqq4$でもある。
第3区間で$u=a+1$とおくと$1\leqq u\leqq\tfrac32$であり，$$S=2u-\frac52+\frac{9}{2u}.$$$1\leqq u_1<u_2\leqq\tfrac32$なら$$S(u_2)-S(u_1)=(u_2-u_1)\left(2-\frac{9}{2u_1u_2}\right)\leqq0,$$なぜなら$u_1u_2\leqq\frac94$だからである。よってこの区間で$S$は減少し，$\frac72\leqq S\leqq4$である。以上より全体の最大値は$\frac{17}{4}$（$a=-\frac14$），最小値は$\frac72$（$a=\frac12$）である。