2産業医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

エは 3 回目の答え 1H3B から、用意した数字が 1、9、6、5 の並べかえだとわかる。オは接弦定理から $\theta=\dfrac{\phi}{2}$。カは正弦定理で 1 辺の対角を求める。キは楕円の面積を二等分する直線が中心を通ることを使う。クは接線の切片を調べると、条件 $ac>0$ のもとでは面積が 0 になる接線があることに気づく。

エ

(3) の 1H3B から、用意した数字列は 1、9、6、5 を並べかえたもので、1965 と同じ位置にあるのはちょうど 1 つである。(2) の 1587 では 1 と 5 が含まれ、1H1B だから「1 が 1 番目」か「5 が 2 番目」のどちらか一方だけが成り立つ。(1) の 3625 では 6 と 5 が含まれ、「6 が 2 番目」か「5 が 4 番目」のどちらか一方だけが成り立つ。

5 が 2 番目とすると、6 は 2 番目にも 5 は 4 番目にもなく (1) に反する。よって 1 が 1 番目で、5 は 2 番目ではない。(3) より 1965 と同じ位置は 1 だけだから、9 は 2 番目でなく、6 は 3 番目でなく、5 は 4 番目でない。(1) より 6 が 2 番目で、残りの 9、5 は 5 が 4 番目でないから 5 が 3 番目、9 が 4 番目。数字列は 1659 で、3 つの答えをすべて満たす。

オ

$L=2a\sin\dfrac{\phi}{2}$。接線と弦のなす角は、その弦に対する円周角に等しく（接弦定理）、$\theta=\dfrac{\phi}{2}$ である。$u=\dfrac{\phi}{2}\ \left(0<u<\dfrac{\pi}{2}\right)$ とおくと $f=8a^{3}\sin^{3}u\cos u$ で、
$$\dfrac{d}{du}\left(\sin^{3}u\cos u\right)=\sin^{2}u\,(3\cos^{2}u-\sin^{2}u).$$
$\tan u<\sqrt{3}$ で正、$\tan u>\sqrt{3}$ で負だから、$u=\dfrac{\pi}{3}$ で最大となる。このとき $\phi=\dfrac{2}{3}\pi$、$\cos\phi=-\dfrac{1}{2}$。

カ

長さ 1 の辺の対角を $C$ とすると、正弦定理より $\dfrac{1}{\sin C}=2\cdot 1$、$\sin C=\dfrac{1}{2}$。円の中心が三角形の内部にあるとき三角形は鋭角三角形だから $C=30^{\circ}$。残りの 2 角は和が $150^{\circ}$ で、どちらも $90^{\circ}$ より小さいから $60^{\circ}$ より大きい。よって最も小さな角は $30$ 度。

キ

$4(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=4$ は中心 $(-1,\,2)$ の楕円で、中心に関して対称だから、中心を通る直線は面積を二等分する。原点と $(-1,\,2)$ を通る直線は $y=-2x$。

ク

$x=s$ における接線は $y=(2as+b)x-as^{2}+c$ で、$y$ 切片は $c-as^{2}$。$ac>0$ より $\dfrac{c}{a}>0$ だから、$s=\pm\sqrt{\dfrac{c}{a}}$ のとき $y$ 切片が 0 となり、接線は原点を通る。このとき直角三角形はつぶれて面積は 0 になり、これより小さくはならない。$as=\pm\sqrt{ac}$ だから、その接線は
$$y=\left(b\pm 2\sqrt{ac}\right)x.$$
（つぶれた図形を三角形とみなさない場合、面積はいくらでも 0 に近づけられるが、最小値はない。問題の条件 $ac>0$ のもとでは、このように読むしかない。）