4奈良県立医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

右・左・上への移動回数を変数に置き、到達座標と移動列の数を求める。確率は有利な移動列数を全移動列数で割り、後半は距離・面積条件から座標を絞って各候補の実現性と右移動回数を確認する。

右へ進んだ回数を $R$、左へ進んだ回数を $L$、上へ進んだ回数を $U$ とすると、$t$ 秒後の座標は $(R-L,U)$ である。
(1) 3秒後は $R+L+U=3$ である。$U$ ごとに $R+L=3-U$ として $x=R-L$ の候補を並べると、
$$\begin{aligned}U=0 &: x=-3,-1,1,3\text{ のいずれか},\\ U=1 &: x=-2,0,2\text{ のいずれか},\\ U=2 &: x=-1,1\text{ のいずれか},\\ U=3 &: x=0.\end{aligned}$$$$U=0:x=-3,-1,1,3\text{ のいずれか},$$$$U=1:x=-2,0,2\text{ のいずれか},$$$$U=2:x=-1,1\text{ のいずれか},$$$$U=3:x=0.$$
したがって $x>0$ となる点は $(1,0),(3,0),(2,1),(1,2)$ である。
(2) 3回の移動列は全部で $3^3=27$ 通りあり、各列の確率は等しい。$U=0$ の場合、距離が2以下となるのは $x=\pm1$ のときである。それぞれ $(R,L)=(2,1),(1,2)$ で、各々の並べ方は $\frac{3!}{2!1!}=3$ 通り、計6通りとなる。
$U=1$ の場合、$R+L=2$ であり、距離が2以下となるのは $x=0$ のときだけである。このとき $(R,L,U)=(1,1,1)$ で、並べ方は $3!=6$ 通りである。$U=2$ では $x=\pm1$ となり距離の2乗は5、$U=3$ では距離が3なので、いずれも条件を満たさない。よって求める確率は
$$\frac{6+6}{27}=\frac{4}{9}.$$
(3) 36秒後の座標を $(x,y)$ とする。上方向にだけ進むので $y=U>0$ であり、座標軸上にないことから $x\ne0$ でもある。距離条件と三角形の面積条件から
$$x^2+y^2=(6\sqrt{13})^2=468,\qquad \frac{|xy|}{2}=108,\quad |xy|=216.$$
したがって
$$(x^2-y^2)^2=(x^2+y^2)^2-4x^2y^2=468^2-4\cdot216^2=180^2.$$
よって $x^2-y^2=\pm180$ であり、連立して $(x^2,y^2)=(324,144)$ または $(144,324)$ を得る。$y>0$ を合わせると候補は $(18,12),(-18,12),(12,18),(-12,18)$ である。これらは実際に到達可能である。順に $(R,L,U)=(21,3,12),(3,21,12),(15,3,18),(3,15,18)$ とすれば、それぞれの座標となり、各回数は非負整数で和が36である。
(4) 36秒間の右への移動回数は $R+L=36-U$ と $R-L=x$ を加えて $R=\frac{36-U+x}{2}$ と表せる。上の4候補に代入すると、順に $21,3,15,3$ となる。したがって考えられる値は $3,15,21$ である。