III福岡大学 2023年 数学 第III問解答・解説

問題 III

$t=\tan x$ とおく。$-\pi/2<x<\pi/2$ では $t$ は実数全体を動き、$dt/dx=1+t^2>0$ である。また
$$f(x)=4t^3-9t^2,\qquad f'(x)=(12t^2-18t)(1+t^2) =6t(2t-3)(1+t^2).$$
従って$f'(x)$は$t<0$で正、$0<t<3/2$で負、$t>3/2$で正である。よって極大となるのは$t=0$、すなわち
$$a=0.$$

さらに微分すると
$$f''(x) =6(1+t^2)(t-1)(8t^2-t+3).$$
二次式$8t^2-t+3$の判別式は$1-96=-95<0$で、最高次係数が正なので常に正である。$1+t^2$も正であり、$f''$の符号は$t-1$の符号と一致する。したがって$f''$は$t=1$を境に負から正に変わり、変曲点の $x$ 座標を $b$ とすると、$\tan b=1$、$-\dfrac{\pi}{2}<b<\dfrac{\pi}{2}$ より
$$b=\dfrac{\pi}{4}.$$
このとき
$$f(b)=4\cdot1^3-9\cdot1^2=-5.$$
よって
$$\text{(i)}\quad a=0,\qquad b=\dfrac{\pi}{4}.$$

(ii) $0\leqq x\leqq\pi/4$ では$0\leqq t=\tan x\leqq1$なので
$f(x)=t^2(4t-9)\leqq0$である。求める領域の面積は
$$\begin{aligned} S &=\int_0^{\pi/4}\{0-f(x)\}\,dx\\ &=\int_0^{\pi/4}(9\tan^2x-4\tan^3x)\,dx. \end{aligned}$$$$S={\int }_0^{\pi /4}\{0-f(x)\}dx$$$$={\int }_0^{\pi /4}(9{\tan }^{2}x-4{\tan }^{3}x)dx.$$
恒等式$\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}-1$より
$$\int\tan^2x\,dx=\tan x-x.$$
また$\tan^3x=\tan x(\dfrac{1}{\cos^{2}x}-1)$だから
$$\int\tan^3x\,dx =\dfrac12\tan^2x+\log(\cos x) \quad\left(-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}\right).$$
従って
$$\begin{aligned} S &=9\left[\tan x-x\right]_0^{\pi/4} -4\left[\dfrac12\tan^2x+\log(\cos x)\right]_0^{\pi/4}\\ &=9\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right) -4\left(\dfrac12-\dfrac12\log2\right)\\ &=7-\dfrac{9\pi}{4}+2\log2. \end{aligned}$$$$S=9{\left[\tan x-x\right]}_0^{\pi /4}-4{\left[\frac{1}{2}{\tan }^{2}x+\log (\cos x)\right]}_0^{\pi /4}$$$$=9\left(1-\frac{\pi }{4}\right)-4\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\log 2\right)$$$$=7-\frac{9\pi }{4}+2\log 2.$$
したがって
$$\text{(ii)}\quad S=7-\dfrac{9\pi}{4}+2\log2.$$
$$\boxed{a=0,\quad b=\dfrac{\pi}{4},\quad \text{面積}=7-\dfrac{9\pi}{4}+2\log2}$$