1聖マリアンナ医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

以下の設問(1)～(3)のア～キにあてはまる適切な数を答えよ。

(1) 実数$x\geqq\dfrac{1}{2}$に対して
$$a=\sqrt{x+\sqrt{2x-1}},\qquad b=\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}$$
とおくと
$$a+b=\sqrt{\boxed{\text{ア}}x+\boxed{\text{ア}}|x-1|}$$
である。また、$a+b=\sqrt{2022}$となるのは、$x=\boxed{\text{イ}}$のときである。

(2) ウイルスAへの感染を調べる検査キットがある。この検査キットはウイルスAに感染している人を陽性と判定する確率が$0.7$、感染していない人を誤って陽性と判定する確率が$0.1$である。ウイルスAに感染している割合が$p$の集団から一人を検査したところ、この検査キットで陽性と判定された。この人が実際にウイルスAに感染している条件付き確率を$p$を用いて表すと
$$\frac{\boxed{\text{ウ}}p}{1+\boxed{\text{エ}}p}$$
である。この確率が$0.5$となるとき、$p=\boxed{\text{オ}}$である。

(3) $\log_{10}(10x^2)$の整数部分が5となる最大の自然数$x$は$\boxed{\text{カ}}$である。また、$\log_{10}(5x^2)$の整数部分が5となる最小の自然数$x$は$\boxed{\text{キ}}$である。なお、$\sqrt{2}=1.414,\ \sqrt{10}=3.162$とせよ。