IV鳥取大学 2022年 数学 第IV問解答・解説

(1) $a_1$ は正の整数だから $a_1\geqq 1$。

$a_n\geqq n$ と仮定する。$a_{n+1}$、$a_n$ は整数で $a_{n+1}>a_n$ だから $a_{n+1}\geqq a_n+1\geqq n+1$。

よって数学的帰納法により、すべての正整数 $n$ について $a_n\geqq n$ である。

(2) (1) より $a_1\geqq 1$、$a_2\geqq 2$。また $n\geqq 3$ なら $a_n\geqq n$ である。

任意の $N\geqq 3$ に対し、$n\geqq 3$ では $\dfrac{1}{n^{2}}<\dfrac{1}{n(n-1)}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}$ だから、

$$\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{a_n^{2}} \leqq 1+\frac14+\sum_{n=3}^{N}\frac{1}{n^{2}} <1+\frac14+\sum_{n=3}^{N}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) =\frac74-\frac1N<\frac74.$$

したがって部分和は有界な単調増加列であり、級数は収束する。極限を取ると

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n^{2}}\leqq\frac74<2$$

となる。