3東京医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

空間座標とベクトルで体積・平面・垂線を表し、内積と三角不等式で角度の最小値を求めた。

(1) $OAB$ は $xy$ 平面上にあり、底辺 $OA=3$、高さは $B$ の $y$ 座標から $2$ なので、面積は $\frac12\cdot3\cdot2=3$ である。また $C$ から平面 $OAB$ までの距離は $1$。よって四面体の体積は
$$\frac13\cdot3\cdot1=1$$
であり、$\text{ア}=1$。

(2) $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}$ より
$$P=(3s+t,\ 2t+2u,\ u).$$
この座標から $u$、次に $t$、$s$ が順に一意に定まるため、この写像で立方体は重なりのない平行六面体に移る。係数の範囲を $0$ から $2$ にすると、辺ベクトルは $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ のそれぞれの2倍となる。元の平行六面体の体積は四面体の6倍で $6$、辺ベクトルをすべて2倍にした体積はその $2^3=8$ 倍である。したがって求める体積は $6\cdot8=48$、ゆえに $\text{イウ}=48$。

(3) $A,B,C$ はいずれも $x+y+z=3$ を満たすから、平面 $ABC$ の方程式は $x+y+z=3$ である。その法線方向は $(1,1,1)$ なので、原点からの垂線の足は $H=(1,1,1)$、したがって $|OH|=\sqrt3$。一方、$s+t+u=2$ のとき
$$P=(3s+t,\ 2t+2u,\ u),\qquad x_P+y_P+z_P=3(s+t+u)=6,$$
ゆえに $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OH}=6$ である。よって
$$\cos\theta=\frac{6}{|OP|\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{|OP|}.$$
ここで $|OA|=3$、$|OB|=|OC|=\sqrt5<3$ より、三角不等式から
$$|OP|\leqq s|OA|+t|OB|+u|OC|\leqq3(s+t+u)=6.$$
等号は $(s,t,u)=(2,0,0)$ のときに成立し、この点は条件を満たす。したがって $|OP|$ の最大値は $6$ であり、$\cos\theta$ の最小値は $\frac{6}{6\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$。ゆえに $\text{エ}=3,\text{オ}=3$。