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東京医科大学／2022年度／一般

4東京医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

いろいろな式

1問題

東京医科大学2022年度第4問
四次方程式
x4−8x3+cx2+4x−6=0(c は定数) x^{4}-8x^{3}+cx^{2}+4x-6=0\qquad(c\text{ は定数})
の四つの解を α,β,γ,δ\alpha,\beta,\gamma,\delta とする。
二つの解 α\alpha と β\beta の積が αβ=2\alpha\beta=\sqrt{2} であるとき、
γ2δ2=アイ \gamma^{2}\delta^{2}=\boxed{\text{アイ}}
であり、
γ+δ=ウ−2エ \gamma+\delta=\boxed{\text{ウ}}-\frac{\sqrt{2}}{\boxed{\text{エ}}}
である。また、このとき
c=オカキ c=\frac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キ}}}
である。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) 四次式を x4−e1x3+e2x2−e3x+e4x^4-e_1x^3+e_2x^2-e_3x+e_4 と比べると
α+β+γ+δ=8,e2=c,e3=−4,αβγδ=−6 \alpha+\beta+\gamma+\delta=8,\quad e_2=c,\quad e_3=-4,\quad \alpha\beta\gamma\delta=-6
αβ=2\alpha\beta=\sqrt2 より γδ=−6/2=−32\gamma\delta=-6/\sqrt2=-3\sqrt2、したがって γ2δ2=18\gamma^2\delta^2=18。
S=α+β,T=γ+δS=\alpha+\beta,T=\gamma+\delta とおくと S+T=8S+T=8 かつ
−4=e3=αβT+γδS=2T−32S -4=e_3=\alpha\beta T+\gamma\delta S=\sqrt2T-3\sqrt2S
従って T−3S=−22T-3S=-2\sqrt2。これと S+T=8S+T=8 を解くと T=6−2/2T=6-\sqrt2/2。
また
c=e2=αβ+γδ+ST=−22+(2+22)(6−22)=232 c=e_2=\alpha\beta+\gamma\delta+ST=-2\sqrt2+\left(2+\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(6-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{23}{2}
よって アイ=18,ウ=6,エ=2,オカ=23,キ=2\text{アイ}=18,\text{ウ}=6,\text{エ}=2,\text{オカ}=23,\text{キ}=2。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 解と係数の関係

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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