4昭和医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

同じ文字を含む順列は重複分を除いて数える。部分文字列は必要な文字をひとまとまりとし、隣接条件ではS,T以外の文字を先に並べてできるすき間に文字を配分し、補集合で求める。

(1) SHOWA の5文字はすべて異なるので，並べ方は
$$5!=120$$
通りである。
(2) HTTPSSHOWA の場合を考える。
(2-1) HTTPSSHOWA では，H，T，S がそれぞれ2個ずつあり，P，O，W，A は各1個である。したがって異なる順列の総数は
$$\frac{10!}{2!2!2!}=453600$$
通りである。
(2-2) SS と TT をそれぞれ1個のまとまりとみなす。残りの文字は H，H，P，O，W，A なので，全部で8個を並べ，Hの重複を除く。
$$\frac{8!}{2!}=20160$$
通りである。
(2-3) SHSH というまとまりを作ると，SとHを2個ずつ使い切る。残る文字は T，T，P，O，W，A であるから，SHSHを含む順列は
$$\frac{7!}{2!}=2520$$
通りである。このまとまりはSとHをすべて使うため，1つの順列に2回以上現れることはない。よって，SHSHを含まない順列は
$$453600-2520=451080$$
通りである。
(2-4) STもTSも含まない順列を数えて全体から引く。まず，S，T以外の6文字 H，H，P，O，W，A を並べる方法は
$$\frac{6!}{2!}=360$$
通りである。並べた6文字の前後および間にできる7個の場所（すき間）に，Sを2個，Tを2個入れる。同じすき間にSとTの両方が入ると，そのすき間内でSTまたはTSが生じる。したがって，Sが入るすき間とTが入るすき間は互いに異なる必要がある。
Sの入るすき間が1個の場合は，その選び方が $7$ 通りであり，Tの入るすき間は残り6個から1個または2個を選ぶので
$$7\left({}_{6}\mathrm{C}_{1}+{}_{6}\mathrm{C}_{2}\right)=147$$
通りである。Sの入るすき間が2個の場合は，Sの入れ方が ${}_{7}\mathrm{C}_{2}$ 通りで，Tの入るすき間は残り5個から1個または2個を選ぶので
$${}_{7}\mathrm{C}_{2}\left({}_{5}\mathrm{C}_{1}+{}_{5}\mathrm{C}_{2}\right)=315$$
通りである。よってSTもTSも含まない順列は
$$360(147+315)=166320$$
通りであり，求める数は
$$453600-166320=287280.$$
最後に，STまたはTSを含む数と含まない数の和は $287280+166320=453600$ で，全順列数と一致する。