3岩手医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

回転で同じとみなす配置を、回転不変の配置と3つの回転で一巡する配置に分けて直接数える。異なる球は順列、同色球は白球位置の組合せで数える。

正三角形の頂点の3か所、各辺の中点の3か所、重心の1か所の計7か所に分ける。図のか所どうしを移す回転は、重心のまわりの $120^\circ$ 回転と $240^\circ$ 回転である。したがって、回転前、$120^\circ$ 回転後、$240^\circ$ 回転後の3つの配置を同じ並べ方と数える。回転しても変わらない配置は1通り、変わる配置はこの3つがすべて異なるので3通りを1つと数える。

(1)

1から7までの球はすべて異なるため、$120^\circ$ 回転で変わらない配置はない。よって、全部の並べ方は
$$\frac{7!}{3}=\frac{5040}{3}=1680\text{通り}.$$

1を頂点に置いた配置の総数は、1を置く頂点が3通り、残りの球の並べ方が $6!$ 通りなので $3\cdot 6!$ 通りである。この条件は回転しても保たれ、配置はすべて3通りずつ同じ並べ方になる。したがって
$$\frac{3\cdot 6!}{3}=6!=720\text{通り}.$$

(2)

白球のある場所だけを選べばよい。白球1個の場合、回転しても変わらないのは重心に置く配置だけである。残り6配置は3通りずつ同じ並べ方になるから
$$1+\frac{7-1}{3}=3\text{通り}.$$
白球2個の場合、回転しても変わらない配置はない。実際、回転で不変な白球の場所は、頂点3か所または辺の中点3か所をそれぞれ全部選ぶか全く選ばない形で、重心は選ぶか選ばないかのどちらかである。白球2個にはならない。白球の場所の選び方は ${}_{7}\mathrm{C}_{2}=21$ 通りなので
$$\frac{{}_{7}\mathrm{C}_{2}}{3}=7\text{通り}.$$

(3)

白球の場所の選び方は ${}_{7}\mathrm{C}_{3}=35$ 通りである。回転しても変わらない配置は、頂点3か所をすべて白にする場合と、辺の中点3か所をすべて白にする場合の2通りである。残る33配置は3通りずつ同じ並べ方になるから
$$2+\frac{35-2}{3}=13\text{通り}.$$

(4)

白か赤かを各場所に選ぶ配置は全部で $2^7=128$ 通りある。回転しても変わらないためには、頂点3か所が同じ色で、辺の中点3か所も同じ色でなければならない。重心の色も含め、このような配置は $2\cdot 2\cdot 2=8$ 通りある。残る120配置は3通りずつ同じ並べ方になるので
$$8+\frac{128-8}{3}=48\text{通り}.$$

以上より、問1の答えは720通り、1680通り、問2は3通り、7通り、問3は13通り、問4は48通りである。