2昭和医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$\triangle OAB$ において、$OA=2$、$OB=\sqrt{5}$、$AB=\sqrt{3}$ とし、$\vec{a}=\overrightarrow{OA}$、$\vec{b}=\overrightarrow{OB}$ とする。次の各問に答えよ。ただし、答えは結果のみを解答欄に記入せよ。

(1) 内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値を求めよ。

(2) $\triangle OAB$ の垂心 $H$ について $\overrightarrow{OH}$ を $\vec{a},\vec{b}$ を用いて表せ。

(3) 線分 $OH$ を延長し線分 $AB$ との交点を $D$ とする。
(a) 線分 $AD$ の長さ $\ell_1$ を求めよ。
(b) 線分 $OD$ の長さ $\ell_2$ を求めよ。

(4) $\triangle OAB$ の外接円の半径 $R$ を求めよ。

(5) $\triangle OAB$ の外心 $G$ について $\overrightarrow{OG}$ を $\vec{a},\vec{b}$ を用いて表せ。