島根大学 2025年数学第1問解答・解説

1問題

島根大学2025年度第1問

数列

\{a_n\}

を初項25、公差

-3

の等差数列とし、数列

\{b_n\}

を初項2、公比2の等比数列とする。次の問いに答えよ。

(1)　

\{a_n\}

の一般項、

\{b_n\}

の一般項をそれぞれ求めよ。

(2)　和

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+\cdots+a_n

を求めよ。

(3)　和

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_k=b_1+\cdots+b_n

を求めよ。

(4)　数列

\{c_n\}

が

c_1=7,\quad c_{n+1}=c_n+a_n+b_n\quad(n=1,2,\cdots)

をみたすとき、

\{c_n\}

の一般項を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\begin{aligned}(1)\quad &a_n=28-3n,\quad b_n=2^n.\\(2)\quad &\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac{n(53-3n)}{2}.\\(3)\quad &\sum_{k=1}^{n}b_k=2^{n+1}-2.\\(4)\quad &c_n=5+\frac{(n-1)(56-3n)}{2}+2^n\quad(n=1,2,\ldots).\end{aligned}$ $(1) a_{n} = 28 - 3 n, b_{n} = 2^{n} . (2) k = 1 \sum n a_{k} = \frac{n ( 53 - 3 n )}{2} . (3) k = 1 \sum n b_{k} = 2^{n + 1} - 2. (4) c_{n} = 5 + \frac{( n - 1 ) ( 56 - 3 n )}{2} + 2^{n} (n = 1, 2, \dots) .$

解答を見る途中式つきの解答

(1) 等差数列と等比数列の一般項は

\boxed{a_n=25-3(n-1)=28-3n},\qquad \boxed{b_n=2\cdot2^{n-1}=2^n}.

(2) 等差数列の和の公式から

\boxed{\sum_{k=1}^n a_k=\frac n2(a_1+a_n)=\frac{n(53-3n)}2}.

(3) 等比数列の和の公式から

\boxed{\sum_{k=1}^n b_k=2\frac{2^n-1}{2-1}=2^{n+1}-2}.

(4) 漸化式を

k=1

から

n-1

まで足すと（

n=1

では空和）

c_n=7+\sum_{k=1}^{n-1}a_k+\sum_{k=1}^{n-1}b_k.

各和を計算して

\sum_{k=1}^{n-1}a_k=\frac{n-1}{2}\{2\cdot25+(n-2)(-3)\}=\frac{(n-1)(56-3n)}2,

\sum_{k=1}^{n-1}b_k=2\frac{2^{n-1}-1}{2-1}=2^n-2.

よって

\boxed{c_n=5+\frac{(n-1)(56-3n)}2+2^n\qquad(n=1,2,\ldots)}.

n=1

を代入すると

c_1=7

となり初期条件も満たす。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。