4島根大学 2025年 数学 第4問解答・解説

$x>0$ で $x^n$ の極限を使い、分子分母を場合分けする。
$$F(x)=\begin{cases}b/d &(0<x<1),\\ (a+b)/(c+d)&(x=1),\\ a/(cx)&(x>1).\end{cases}$$
(1) 指定値では $x>1$ より $F(x)=3/(2x)$。

(2) $0<x<1$ では $F=2$、$x=1$ では $5/3$、$x>1$ では $3/(2x)$。したがって水平線 $y=2$ の区間 $0<x<1$ は両端を含まず、点 $(1,5/3)$ は含む。曲線 $y=3/(2x)$ は $x>1$ の部分だけで、端点 $(1,3/2)$ は含まない。

(3) $y=F(x)$ と $y=x$ の交点は、各区間で次の条件を満たす点に限られる。$0<x<1$ では $x=b/d$ が許される条件 $b<d$、$x=1$ では $a+b=c+d$、$x>1$ では $x^2=a/c$ から $a>c$。よって共有点数は、三つの条件 $b<d$、$a+b=c+d$、$a>c$ のうち成り立つ条件の個数である。
$a,b,c,d$ がそれぞれ $1,2,3$ のいずれかでちょうど2点となるのは、$b<d$ と $a>c$ がともに成立し、かつ $a-c\ne d-b$ の組に限る（片方だけと等式が同時に成立することは、等式 $a-c=d-b$ と符号から不可能）。該当する組は
$$\boxed{(a,b,c,d)=(2,1,1,3),(3,1,1,2),(3,2,1,3),(3,1,2,3)}.$$