2滋賀医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

点 $B$ は第1象限にあり、$x$ 座標が1、$OB=2$ なので $B=(1,\sqrt3)$ である。$P$ は線分 $AB$ 上を動くので、$0\leqq\theta\leqq\frac\pi3$。$r=OP$ とすると $r\cos\theta=OA=1$ より
$$OP=\sec\theta,\qquad P=(1,\tan\theta).$$

(2) 直線 $OP$ の方向の単位ベクトルは $(\cos\theta,\sin\theta)$。距離が2である候補は $P\pm2(\cos\theta,\sin\theta)$ である。プラス側は $x=1+2\cos\theta>1$ となり条件に合わないため、
$$Q=P-2(\cos\theta,\sin\theta)=\left(1-2\cos\theta,\ (\sec\theta-2)\sin\theta\right).$$

(3) $y(\theta)=(\sec\theta-2)\sin\theta$ とおくと
$$y'(\theta)=\sec^2\theta-2\cos\theta=\frac{1-2\cos^3\theta}{\cos^2\theta}.$$
$0\leqq\theta\leqq\frac\pi3$ の範囲で、$\theta$ が大きくなると $\cos\theta$ は1から$\frac12$まで必ず小さくなるため、導関数はただ一度、$\cos^3\theta_0=\frac12$ で負から正に変わる。よってここが最小点である。$\cos\theta_0=2^{-1/3}$、$\sin\theta_0=\sqrt{1-2^{-2/3}}$ から
$$Q(\theta_0)=\left(1-2^{2/3},\ (2^{1/3}-2)\sqrt{1-2^{-2/3}}\right).$$

(4) $x(\theta)=1-2\cos\theta$ は増加し、端点は $(-1,0)$、$(0,0)$、その間は $y<0$。したがって囲まれた面積は
$$\begin{aligned} S&=-\int_0^{\pi/3}y(\theta)x'(\theta)\,d\theta =2\int_0^{\pi/3}(2-\sec\theta)\sin^2\theta\,d\theta\\ &=\left[2\theta-\sin2\theta-2\log(\sec\theta+\tan\theta)+2\sin\theta\right]_0^{\pi/3}\\ &=\frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt3}{2}-2\log(2+\sqrt3). \end{aligned}$$$$S=-{\int }_0^{\pi /3}y(\theta )x^{\prime }(\theta )d\theta =2{\int }_0^{\pi /3}(2-\sec \theta ){\sin }^2\theta d\theta$$$$={\left[2\theta -\sin 2\theta -2\log (\sec \theta +\tan \theta )+2\sin \theta \right]}_0^{\pi /3}$$$$=\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-2\log (2+\sqrt{3}).$$