5鹿児島大学 2022年 数学 第5問解答・解説

曲線の媒介変数表示は $x=\cos^{3}t$、$y=3\sin^{3}t$、$0<t<\dfrac{\pi}{2}$ である。

(1)

$x'=-3\cos^{2}t\sin t$、$y'=9\sin^{2}t\cos t$。区間内では $x'\neq0$ なので、接線の傾きは $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=-3\tan t$。点 $P(\cos^{3}t,\,3\sin^{3}t)$ を通るから
$$y-3\sin^{3}t=-3\tan t\,(x-\cos^{3}t).$$
$\tan t\cos^{3}t=\sin t\cos^{2}t$ と $\sin^{2}t+\cos^{2}t=1$ を使って整理すれば、$y=-3(\tan t)x+3\sin t$ となる。

(2)

接する円の半径は原点から接線までの距離である。接線を $3(\tan t)x+y-3\sin t=0$ と書くと、点と直線の距離の公式より
$$r=\dfrac{3\sin t}{\sqrt{9\tan^{2}t+1}}.$$
$\alpha=\cos^{2}t$ とすると $0<\alpha<1$、$\sin^{2}t=1-\alpha$、$\tan^{2}t=\dfrac{1-\alpha}{\alpha}$ である。これを代入して
$$r^{2}=\dfrac{9\alpha(1-\alpha)}{9-8\alpha}=\dfrac{9\alpha(\alpha-1)}{8\alpha-9}.$$
区間内では分母は 0 にならない。

(3)

$r$ は正なので、$r^{2}=R(\alpha)$ の最大化でよい。$R(\alpha)=\dfrac{9\alpha(1-\alpha)}{9-8\alpha}$ とおくと
$$R'(\alpha)=\dfrac{9(4\alpha-3)(2\alpha-3)}{(9-8\alpha)^{2}}.$$
$0<\alpha<1$ で分母は正、$2\alpha-3<0$ だから、$R'(\alpha)$ は $0<\alpha<\dfrac{3}{4}$ で正、$\dfrac{3}{4}<\alpha<1$ で負となる。従って最大は $\alpha=\dfrac{3}{4}$ で、$R\left(\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{9}{16}$、$r=\dfrac{3}{4}$ である。$\alpha=\cos^{2}t$ かつ $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ より $\cos t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、従って $t=\dfrac{\pi}{6}$ である。