4札幌医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1)\ まず、F(x)=x-$\sin$ x とおくと、
$$F(0)=0,\qquad F'(x)=1-\cos x\geqq 0$$
である。したがって $0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}$ で $F(x)\geqq 0$、すなわち $\sin x\leqq x$ である。等号は $x=0$ のときに成り立つ。

次に $x>0$ とし、$q(x)=\frac{\sin x}{x}$、$G(x)=\sin x-x\cos x$ とおく。$G(0)=0$ であり、
$$G'(x)=x\sin x\geqq 0$$
だから $G(x)\geqq 0$ である。よって
$$q'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}=-\frac{G(x)}{x^2}\leqq 0.$$
したがって $q$ は $0<x\leqq\frac{\pi}{2}$ で減少するので、
$$\frac{\sin x}{x}\geqq q\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2}{\pi}.$$
$x>0$ を掛ければ $\frac{2}{\pi}x\leqq\sin x$ を得る。$x=0$ ではこの不等式は等号で成り立つ。また、左側の等号は $x=\frac{\pi}{2}$ でも成り立つ。

(2)(i)\ (1)より、区間 $0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}$ では $D_1$ の上側が $y=\sin x$、下側が $y=\frac{2}{\pi}x$ である。したがって
$$\begin{aligned} S_1 &=\int_0^{\pi/2}\left(\sin x-\frac{2}{\pi}x\right)\,dx\\ &=\left[-\cos x-\frac{x^2}{\pi}\right]_0^{\pi/2} =1-\frac{\pi}{4}. \end{aligned}$$$$S_1={\int }_0^{\pi /2}\left(\sin x-\frac{2}{\pi }x\right)dx$$$$={\left[-\cos x-\frac{x^2}{\pi }\right]}_0^{\pi /2}=1-\frac{\pi }{4}.$$
また、$\sin x\leqq x$ より $D_2$ は $y=x$ と $y=\sin x$ の間の部分なので、
$$\begin{aligned} S_2 &=\int_0^{\pi/2}(x-\sin x)\,dx\\ &=\left[\frac{x^2}{2}+\cos x\right]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}{8}-1. \end{aligned}$$$$S_2={\int }_0^{\pi /2}(x-\sin x)dx$$$$={\left[\frac{x^2}{2}+\cos x\right]}_0^{\pi /2}=\frac{{\pi }^2}{8}-1.$$
大小を比べると、
$$S_2-S_1=\frac{\pi^2+2\pi-16}{8}.$$
$\pi>3.14$ であり、$t^2+2t$ は $t>0$ で増加するから、
$$\pi^2+2\pi-16>3.14^2+2\cdot3.14-16=0.1396>0.$$
よって $S_2>S_1$ である。

(2)(ii)\ $D_1$ を $x$ 軸のまわりに回転すると、各 $x$ における断面は外半径 $\sin x$、内半径 $\frac{2}{\pi}x$ の円環となる。(1)により両半径は非負で、外半径が内半径以上である。したがって体積 $V$ は
$$\begin{aligned} V &=\pi\int_0^{\pi/2}\left\{(\sin x)^2-\left(\frac{2}{\pi}x\right)^2\right\}\,dx\\ &=\pi\left\{\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx-\frac{4}{\pi^2}\int_0^{\pi/2}x^2\,dx\right\}\\ &=\pi\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\pi^2}{12}. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_0^{\pi /2}\left\{(\sin x{)}^2-{\left(\frac{2}{\pi }x\right)}^2\right\}dx$$$$=\pi \left\{{\int }_0^{\pi /2}\frac{1-\cos 2x}{2}dx-\frac{4}{{\pi }^2}{\int }_0^{\pi /2}{x}^{2}dx\right\}$$$$=\pi \left(\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{{\pi }^2}{12}.$$
以上。