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札幌医科大学／2022年度／前期

2札幌医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

図形と計量ベクトル

1問題

札幌医科大学2022年度第2問
原点を OO とする座標空間に、4点 A(1,2,1),B(2,−1,−3),C(1,1,1),D(3,2,−1)A(1,2,1),\quad B(2,-1,-3),\quad C(1,1,1),\quad D(3,2,-1) がある。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 三角形 OABOAB の面積を求めよ。
(2) 2点 O,AO,A を通る直線を L1L_1、2点 O,BO,B を通る直線を L2L_2 とする。直線 L1L_1 上に点 EE、直線 L2L_2 上に点 FF をとる。ここで、点 EE と点 FF は異なるとする。いま、EF→\overrightarrow{EF} と OC→\overrightarrow{OC} は垂直で、2点 E,FE,F を通る直線 L3L_3 が点 DD を通るとする。次の(i)、(ii)に答えよ。
(i) 直線 L3L_3 と xyxy 平面との交点の座標を求めよ。
(ii) 点 BB と直線 L3L_3 上の点との距離の最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    532\frac{5\sqrt{3}}{2}
  • (2)(i)
    (2,2,0)(2,2,0)
  • (2)(ii)
    362\frac{3\sqrt{6}}{2}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)　 OA→=(1,2,1)\overrightarrow{OA}=(1,2,1), OB→=(2,−1,−3)\overrightarrow{OB}=(2,-1,-3) とおく。
∣OA→∣=6,∣OB→∣=14,OA→⋅OB→=2−2−3=−3. |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{6},\quad |\overrightarrow{OB}|=\sqrt{14},\quad \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2-2-3=-3.
∠AOB=θ\angle AOB=\theta とすると、cos⁡θ=−384\cos\theta=-\dfrac{3}{\sqrt{84}} である。したがって
sin⁡θ=1−cos⁡2θ=7584=527. \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{\frac{75}{84}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}.
よって、三角形 OABOAB の面積は
12∣OA→∣∣OB→∣sin⁡θ=1284⋅527=532. \frac12|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\sin\theta=\frac12\sqrt{84}\cdot\frac{5}{2\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{3}}2.

(2)　 OA→=a⃗, OB→=b⃗, OC→=c⃗\overrightarrow{OA}=\vec{a},\ \overrightarrow{OB}=\vec{b},\ \overrightarrow{OC}=\vec{c} とし、E=sa⃗, F=tb⃗E=s\vec{a},\ F=t\vec{b} とおく。a⃗⋅c⃗=4, b⃗⋅c⃗=−2\vec{a}\cdot\vec{c}=4,\ \vec{b}\cdot\vec{c}=-2 だから、EF→⊥OC→\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{OC} より
(tb⃗−sa⃗)⋅c⃗=−2t−4s=0,t=−2s. (t\vec{b}-s\vec{a})\cdot\vec{c}=-2t-4s=0,\quad t=-2s.
E≠FE\ne F なので s≠0s\ne0 である。したがって
EF→=tb⃗−sa⃗=−s(a⃗+2b⃗)=−5s(1,0,−1). \overrightarrow{EF}=t\vec{b}-s\vec{a}=-s(\vec{a}+2\vec{b})=-5s(1,0,-1).
ゆえに、L3L_3 の方向ベクトルとして v⃗=(1,0,−1)\vec{v}=(1,0,-1) をとれる。

(i)　 D(3,2,−1)D(3,2,-1) を通るので、L3L_3 上の点を
Q(u)=(3,2,−1)+u(1,0,−1)=(3+u,2,−1−u) Q(u)=(3,2,-1)+u(1,0,-1)=(3+u,2,-1-u)
と表せる。xyxy 平面では z=0z=0 だから −1−u=0-1-u=0 より u=−1u=-1 であり、交点は (2,2,0)(2,2,0) である。

(ii)　 点 BB との距離の二乗は
∣Q(u)−B∣2=(1+u)2+32+(2−u)2=2u2−2u+14=2(u−12)2+272. |Q(u)-B|^2=(1+u)^2+3^2+(2-u)^2=2u^2-2u+14=2\left(u-\frac12\right)^2+\frac{27}{2}.
これは u=12u=\frac12 のとき最小となる。実際、このとき Q=(72,2,−32)Q=(\frac72,2,-\frac32) で、∣Q−B∣2=272|Q-B|^2=\frac{27}{2} である。よって求める最小距離は
272=362. \sqrt{\frac{27}{2}}=\frac{3\sqrt{6}}2.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 空間図形の計量
  • 位置ベクトル
  • ベクトルの成分表示
  • ベクトルの内積
  • 空間座標と空間ベクトル
  • ベクトルによる図形の考察

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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