3札幌医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

赤玉の位置を組合せで数え、各並びの確率を掛ける。条件付き確率は条件を満たす並びのうち目的の事象も満たすものの割合として求める。

赤玉の出る確率を $p=\frac{3}{10}$、白玉の出る確率を $q=\frac{7}{10}$ とする。各試行は独立である。
(1) $n$ 回目に3度目の赤玉が出るためには、$n$ 回目が赤玉であり、最初の $n-1$ 回に赤玉がちょうど2回出ればよい。最初の $n-1$ 回のうち赤玉の出る2回を選ぶ方法は ${}_{n-1}\mathrm{C}_{2}$ 通りであり、各並びには赤玉が合計3個、白玉が $n-3$ 個含まれる。したがって求める確率は ${}_{n-1}\mathrm{C}_{2}p^3q^{n-3}={}_{n-1}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{3}{10}\right)^3\left(\frac{7}{10}\right)^{n-3}$ である。
(2) 赤玉がちょうど3回出て、隣り合う回に出ない位置を $1\leqq i_1<i_2<i_3\leqq n$ とする。この条件は $i_2\geqq i_1+2$、$i_3\geqq i_2+2$ と同値である。$j_1=i_1$、$j_2=i_2-1$、$j_3=i_3-2$ とおくと $1\leqq j_1<j_2<j_3\leqq n-2$ となるので、その選び方は ${}_{n-2}\mathrm{C}_{3}$ 通りである。各位置の選び方に対応する並びの確率は $p^3q^{n-3}$ であるから、求める確率は ${}_{n-2}\mathrm{C}_{3}p^3q^{n-3}={}_{n-2}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{3}{10}\right)^3\left(\frac{7}{10}\right)^{n-3}$ である。
(3) $A$ を「$n$ 回目に3度目の赤玉が出る」、$B$ を「赤玉が2度以上連続することなくちょうど3度出る」とする。$A$ のもとでは最初の $n-1$ 回に赤玉がちょうど2回出るので、その赤玉の位置の選び方は ${}_{n-1}\mathrm{C}_{2}$ 通りであり、これらは同じ確率である。さらに $B$ も成り立つには、$n$ 回目が赤玉なので $n-1$ 回目は白玉でなければならず、最初の $n-2$ 回の中で赤玉が2回、互いに隣り合わずに出る必要がある。赤玉の位置を選ぶ数は ${}_{(n-2)-2+1}\mathrm{C}_{2}={}_{n-3}\mathrm{C}_{2}$ 通りである。よって $P_{A}(B)=\frac{{}_{n-3}\mathrm{C}_{2}}{{}_{n-1}\mathrm{C}_{2}}=\frac{(n-3)(n-4)}{(n-1)(n-2)}$ である。
検算として $n=5$ とすると、(1) は最初の4回から赤玉の位置を2つ選ぶ6通り、(2) は赤玉の位置が $1,3,5$ の1通り、(3) は $A$ の6通りのうち赤玉が連続しないものが1通りなので、それぞれの式は $6p^3q^2$、$p^3q^2$、$\frac16$ となり一致する。