3埼玉医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

次の文章を読み、後の問い（問1〜4）の各枠に当てはまる符号または数字をマークせよ。

図のような $\mathrm{OA}=3$、$\mathrm{OC}=2\sqrt{2}$ である長方形OABCがある。線分OAを $2:1$ に内分する点をD、線分DBを $2:1$ に内分する点をEとする。OBとCEの交点をPとする。

（図：O を左下、A を右下、B を右上、C を左上とする長方形 OABC。直線 CE を延長して、OA の延長と点 Q で、AB と点 R で交わる。）

問1 $\overrightarrow{\mathrm{OE}}$ は
$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\dfrac{1}{\boxed{22}}\left(\boxed{23}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\boxed{24}\overrightarrow{\mathrm{OD}}\right)$$
であり、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ は
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{\boxed{25}}{\boxed{26}\boxed{27}}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$$
である。

問2 CPの延長とOAの延長が交わる点をQとすると、QはOAを $\dfrac{\boxed{28}}{\boxed{29}}:1$ に外分する。

問3 PQとABの交点をRとする。このとき、$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{DB}}$ の内積 $\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DB}}=\boxed{30}$ なので、
$$\angle\mathrm{BER}=\dfrac{\boxed{31}}{\boxed{32}}\pi$$
である。

問4 $\triangle\mathrm{AQR}$ と $\triangle\mathrm{ABD}$ の面積比は
$$\dfrac{\triangle\mathrm{AQR}}{\triangle\mathrm{ABD}}=\dfrac{\boxed{33}\boxed{34}}{\boxed{35}}$$
である。